Determine as equações do plano tangente e a reta normal a cada superfície dada abaixo, no ponto especificado:
x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21 no ponto (2,1,-1)

Passo 1

O enunciado dá a superfície de nível
x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=21
e pede o plano tangente e a reta normal no ponto P=(2,1,-1).
O conteúdo envolvido é o gradiente de uma função de três variáveis, a fórmula do plano tangente a uma superfície de nível e a reta normal a essa superfície.

Passo 2

Definimos a função de nível
f(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}.
O gradiente de f é
\nabla f(x,y,z)=\bigl(2x,\;4y,\;6z\bigr).
Em P=(2,1,-1) temos
\nabla f(2,1,-1)=(2\cdot2,\;4\cdot1,\;6\cdot(-1))=(4,4,-6).

Passo 3

A equação do plano tangente a uma superfície de nível f(x,y,z)=\text{constante} no ponto P é dada por
\nabla f(P)\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0.
Substituindo \nabla f(P)=(4,4,-6) e P=(2,1,-1), obtemos
4(x-2)+4(y-1)-6(z+1)=0.
Para simplificar:
4x-8+4y-4-6z-6=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x+4y-6z-18=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x+2y-3z-9=0.

Passo 4

A reta normal à superfície em P\) tem direção dada por \(\nabla f(P)=(4,4,-6)\) e passa por \(P\). Sua forma paramétrica é \[\begin{cases} x=2+4t,\\\ y=1+4t,\\\ z=-1-6t, \end{cases}
onde (t\in\mathbb{R}].

Resposta

Plano tangente:
2x+2y-3z-9=0.
Reta normal:
\bigl\{\,x=2+4t,\;y=1+4t,\;z=-1-6t\mid t\in\mathbb{R}\bigr\}.

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