22 Em um cone circular reto de altura 8 cm , a área lateral é o triplo da área da base. Calcule o volume desse cone.

Passo 1

O enunciado trata de um cone circular reto de altura 8 cm cuja área lateral é o triplo da área da base. Queremos calcular o volume desse cone, usando as fórmulas de área da base, área lateral e volume de um cone.

Passo 2

Denotando por r o raio da base e por l a geratriz (aresta lateral) do cone, temos:
– Área da base:
Abase = pi r^2
– Área lateral:
Alat = pi r,l
A condição do problema é
Alat = 3,Abase
ou seja,
pi r,l = 3;pi r^2

Passo 3

Como r>0, podemos cancelar pi r em ambos os lados:
l = 3r
Mas sabemos que a geratriz satisfaz
l = raizr^2 + h^2
com h=8. Logo
raizr^2 + 8^2 = 3r
Elevando ao quadrado:
r^2 + 64 = 9r^2
8r^2 = 64
r^2 = 8
r = raiz8 = 2raiz2 cm

Passo 4

O volume de um cone é dado por
V = 13,pi r^2 h
Substituindo r^2=8 e h=8:
V = 13,pi ,(8),(8) = 64pi3 cm^3

Resposta

O volume do cone é 64pi3 cm^3.

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