Calcule a massa do sólido B=(x, y, z) mid x^2+y^2-2 x <= 0,0 <= z <= x+y, x >= 0, y >= 0, sendo a densidade dada por de<a(x, y, z)=1.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido
B = (x,y,z)mid x^2 + y^2 - 2x <= 0,;0 <= z <= x+y,;x>=0,;y>=0
com densidade de<a(x,y,z)=1.
Conteúdo: cálculo de massa por integral tripla. Vamos projetar em xy e depois integrar em z.

Passo 2

A condição x^2 + y^2 - 2x <= 0 equivale a
(x-1)^2 + y^2 <= 1,
ou seja, círculo de raio 1 centrado em (1,0). Com x>=0 e y>=0, a projeção no plano xy é
R = l(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<=raiz2x - x^2r

Passo 3

Como de<a=1, a massa é
M = integral triplaB 1,dV = integral duplaRl(integralz=0^z=x+y1,dzr)dA = integral duplaR(x+y),dA

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em y:
integraly=0^raiz2x - x^2(x+y),dy = xraiz2x - x^2 + 12l(raiz2x - x^2r)^2 = xraiz2x - x^2 + 2x - x^22 = xraiz2x - x^2 + x - x^22

Passo 5

Logo
M = integralx=0^2!l(xraiz2x - x^2 + x - tfracx^22r),dx = underbraceintegral0^2xraiz2x - x^2,dxI1 + underbraceintegral0^2l(x - tfracx^22r),dxI2

Passo 6

Para I1, fazemos t = x-1, então x = t+1, tin[-1,1] e raiz2x - x^2 = raiz1-t^2.
I1 = integral-1^1(t+1)raiz1-t^2,dt = integral-1^1traiz1-t^2,dt + integral-1^1raiz1-t^2,dt
O primeiro é zero por ser função ímpar. O segundo é a área do semi-círculo unitário, ou seja,
I1 = integral-1^1raiz1-t^2,dt = pi2

Passo 7

Para I2:
I2 = integral0^2l(x - tfracx^22r),dx = l[tfracx^22 - tfracx^36r]0^2 = l(2 - tfrac86r) = 23

Passo 8

Somando:
M = I1 + I2 = pi2 + 23

Resposta

M = pi2 + 23

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