(Puc-rio) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 150 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos B ou C. Sabendo que 95 dessas pessoas não usam o produto C e 25 não usam o produto B , qual é o número de pessoas que utilizam os produtos B e C ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claro e curto):
- O total de pessoas que usam pelo menos um dos produtos
ou é . - Dessas
pessoas, não usam o produto . - Dessas
pessoas, não usam o produto .
A pergunta é: quantas pessoas usam ambos os produtose ? Ou seja, encontrar .
Passo 2
Vamos interpretar corretamente as frases "não usam o produto
" e "não usam o produto
":
- "Não usam o produto
" entre quem usa pelo menos um significa que essas pessoas usam mas não usam . Em notação de conjuntos isso é . Então . - "Não usam o produto
" entre quem usa pelo menos um significa que essas pessoas usam mas não usam . Em notação isso é . Então .
Passo 3
Explicação didática do princípio que vamos usar (muito útil em provas): o conjunto
pode ser decomposto em três partes disjuntas (não se sobrepõem):
-
(só ), -
(só ), -
(ambos).
Portanto a contagem total é a soma das três partes. Em fórmula:
Passo 4
Agora substituímos os números que temos na fórmula e resolvemos para
.
Isolando
obtemos
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida: o resultado
é não-negativo e faz sentido porque
pessoas usam só
,
usam só
e o restante
usa ambos, totalizando
. Dica de prova: desenhar um diagrama de Venn simples ajuda muito a visualizar esse tipo de contagem.