(Puc-rio) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 150 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos B ou C. Sabendo que 95 dessas pessoas não usam o produto C e 25 não usam o produto B , qual é o número de pessoas que utilizam os produtos B e C ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claro e curto):
  • O total de pessoas que usam pelo menos um dos produtos B ou C é |B\cup C|=150.
  • Dessas 150 pessoas, 95 não usam o produto C.
  • Dessas 150 pessoas, 25 não usam o produto B.
    A pergunta é: quantas pessoas usam ambos os produtos B e C? Ou seja, encontrar |B\cap C|.

Passo 2

Vamos interpretar corretamente as frases "não usam o produto C" e "não usam o produto B":
  • "Não usam o produto C" entre quem usa pelo menos um significa que essas pessoas usam B mas não usam C. Em notação de conjuntos isso é B\setminus C. Então |B\setminus C|=95.
  • "Não usam o produto B" entre quem usa pelo menos um significa que essas pessoas usam C mas não usam B. Em notação isso é C\setminus B. Então |C\setminus B|=25.

Passo 3

Explicação didática do princípio que vamos usar (muito útil em provas): o conjunto B\cup C pode ser decomposto em três partes disjuntas (não se sobrepõem):
  • B\setminus C (só B),
  • C\setminus B (só C),
  • B\cap C (ambos).
    Portanto a contagem total é a soma das três partes. Em fórmula:
|B\cup C|=|B\setminus C|+|C\setminus B|+|B\cap C|

Passo 4

Agora substituímos os números que temos na fórmula e resolvemos para |B\cap C|.
150=95+25+|B\cap C|
Isolando |B\cap C| obtemos
|B\cap C|=150-95-25
|B\cap C|=30

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: o resultado 30 é não-negativo e faz sentido porque 95 pessoas usam só B, 25 usam só C e o restante 30 usa ambos, totalizando 95+25+30=150. Dica de prova: desenhar um diagrama de Venn simples ajuda muito a visualizar esse tipo de contagem.

Resposta

30

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