5-22 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
f(x, y)= x yx^2+x y+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Estamos com a função
f(x,y)=dfracxyx^2+xy+y^2&se (x,y)neq(0,0)0&se (x,y)=(0,0) e queremos o limite quando
(x,y)to(0,0)
Esse é um limite de função de duas variáveis; uma forma de testar existência é analisar limites ao longo de diferentes caminhos.

Passo 2

Vamos usar caminhos retilíneos do tipo y=mx. Substituindo em f:
f(x,mx)=x,(m x)x^2 + x(m x)+(m x)^2 =m x^2x^2l(1+m+m^2r) =m1+m+m^2
Isso mostra que o valor do limite ao longo da reta de inclinação m é m/(1+m+m^2), constante que depende de m.

Passo 3

Como o resultado m/(1+m+m^2) varia com m, não há um único valor para o limite em todas as direções. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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