Determine a derivada direcional da função dada na direção v : w=ln (x^2+y^2+z^2), v=raiz33(1,-1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função w=ln(x^2+y^2+z^2) na direção do vetor vec v=tfracraiz33(1,-1,-1). Isso envolve o conteúdo de derivadas parciais, gradiente de uma função escalar e produto escalar com um vetor unitário.

Passo 2

Para começar, vamos calcular o gradiente de w. Seja u=x^2+y^2+z^2, então w=ln u e temos nabla w=1unabla u. Como nabla u=(2x,2y,2z), obtemos
nabla w=(2xx^2+y^2+z^2,2yx^2+y^2+z^2,2zx^2+y^2+z^2)

Passo 3

Precisamos verificar que vec v é unitário. Calculando sua norma:
|vec v|=raiz33raiz1^2+(-1)^2+(-1)^2=raiz33raiz3=1,
portanto vec v já está normalizado. A derivada direcional de w na direção de vec v é dada por
Dvec vw=(nabla w)cdotvec v

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar:
$$D_{\vec v}w=\frac{2}{x2+y2+z^2}\Bigl(x,,y,,z\Bigr)\cdot\frac{\sqrt3}{3}(1,-1,-1).
$$

Passo 5

Fazendo o produto escalar e simplificando, temos
Dvec vw=2raiz33,(x^2+y^2+z^2)l(x - y - zr)

Resposta

Dvec vw=2raiz3,(x-y-z)3,(x^2+y^2+z^2)

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