Determine a derivada direcional da função dada na direção
:
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional da função
na direção do vetor
. Isso envolve o conteúdo de derivadas parciais, gradiente de uma função escalar e produto escalar com um vetor unitário.
Passo 2
Para começar, vamos calcular o gradiente de
. Seja
, então
e temos
. Como
, obtemos
Passo 3
Precisamos verificar que
é unitário. Calculando sua norma:
portanto
Passo 4
Agora fazemos o produto escalar:
$$D_{\vec v}w=\frac{2}{x2+y2+z^2}\Bigl(x,,y,,z\Bigr)\cdot\frac{\sqrt3}{3}(1,-1,-1).
$$
Passo 5
Fazendo o produto escalar e simplificando, temos