Num certo instante, a altura de um cone é 30 cm e o raio da base é 20 cm e cresce à razão de
. Qual é a velocidade com que a altura aumenta no instante em que o volume cresce à razão de
?
Passo 1
O enunciado fala de um cone cujo raio da base aumenta e do qual queremos relacionar essa variação com a do volume. O assunto é derivadas relacionadas (taxas de variação) e vamos usar a fórmula do volume de um cone e diferenciá-la em relação ao tempo.
Passo 2
O volume de um cone é dado por
onde
é o raio da base e
a altura. Vamos derivar essa expressão em relação ao tempo
.
Passo 3
Derivando ambos os lados em relação a
, usando a regra do produto, temos
Passo 4
Substituímos os valores conhecidos no instante considerado:
,
,
e
. Assim:
Passo 5
Isolando
, multiplicamos ambos os lados por
:
Logo,
e daí
Resposta
A altura está aumentando a
nesse instante.