Num certo instante, a altura de um cone é 30 cm e o raio da base é 20 cm e cresce à razão de 1 cm / seg. Qual é a velocidade com que a altura aumenta no instante em que o volume cresce à razão de 20003 pi cm^3 / seg ?

Passo 1

O enunciado fala de um cone cujo raio da base aumenta e do qual queremos relacionar essa variação com a do volume. O assunto é derivadas relacionadas (taxas de variação) e vamos usar a fórmula do volume de um cone e diferenciá-la em relação ao tempo.

Passo 2

O volume de um cone é dado por
V = 13pi r^2 h
onde r é o raio da base e h a altura. Vamos derivar essa expressão em relação ao tempo t.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a t, usando a regra do produto, temos
dVdt = 13pil(2rdrdt,h + r^2dhdtr) Aqui aplicamos que d(r^2h)/dt = 2r,dr/dtcdot h + r^2,dh/dt.

Passo 4

Substituímos os valores conhecidos no instante considerado: r=20,cm, h=30,cm, dr/dt=1,cm/s e dV/dt=tfrac20003pi,cm^3/s. Assim:
20003pi = 13pil(2cdot20cdot1cdot30 + 20^2,dhdtr)

Passo 5

Isolando dh/dt, multiplicamos ambos os lados por 3/pi:
2000 = 2cdot20cdot30 + 20^2,dhdt = 1200 + 400,dhdt
Logo,
400,dhdt = 2000 - 1200 = 800
e daí
dhdt = 800400 = 2,cm/s

Resposta

A altura está aumentando a 2,cm/s nesse instante.

Exercícios relacionados