5-22 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
f(x, y, z)=arcsen(x^2+y^2+z^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z) onde f(x,y,z)=arcsen(x^2+y^2+z^2). O conteúdo envolve limite de funções de várias variáveis e uso da continuidade de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, definimos g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. Como cada termo é uma função polinomial, sabemos que
lim(x,y,z)to(0,0,0)g(x,y,z)=lim(x,y,z)to(0,0,0)(x^2+y^2+z^2)=0

Passo 3

Em seguida, usamos que arcsen(t) é contínua em t=0. Pela propriedade de funções compostas, temos
lim(x,y,z)to(0,0,0)arcsen(g(x,y,z))=arcsenl(lim(x,y,z)to(0,0,0)g(x,y,z)r)

Passo 4

Logo, substituindo o valor do limite de g:
arcsen(0)=0

Resposta

0

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