Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto dado P e a direcão em que ocorre: z=x y, P=(1,0).

Passo 1

O enunciado pede a direção e o valor máximo da derivada direcional de f(x,y)=x·y no ponto P=(1,0). Vamos usar o conceito de derivada direcional e gradiente para resolver.

Passo 2

A derivada direcional de f em P na direção unitária u é dada por Duf(P)=nabla f(P)cdotu. O valor máximo ocorre quando u está na direção de nabla f(P) e vale |\nabla f§|.

Passo 3

Calculamos o gradiente de f: as derivadas parciais são
partial fpartial x=y, partial fpartial y=x
Logo nabla f(x,y)=(y,,x).

Passo 4

Avaliamo-lo em P=(1,0):
nabla f(1,0)=(0,,1)
O módulo do gradiente em P é
|nabla f(1,0)|=raiz0^2+1^2=1
Assim, o valor máximo da derivada direcional é 1 e ocorre na direção do gradiente, isto é, no vetor unitário (0,1).

Resposta

Valor máximo = 1, na direção do vetor (0,1).

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