Considere a superfície dada pela função f(x, y)=x e^x^2-y^2.
Encontre as derivadas parciais partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função em . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde aprendemos a calcular derivadas parciais de funções de múltiplas variáveis. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é um produto de e , então vamos usar a regra do produto: se e , então .

Passo 3

Vamos derivar em relação a : .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então, .
Logo, .

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto:
partial fpartial x = u'v + uv' = 1 cdot e^x^2 - y^2 + x cdot (e^x^2 - y^2 cdot 2x) = e^x^2 - y^2 + 2x^2 e^x^2 - y^2
Podemos simplificar colocando partial fpartial x = e^x^2 - y^2 (1 + 2x^2) em evidência:

Passo 6

Agora, vamos calcular partial fpartial x(1,1) = e^1^2 - 1^2 (1 + 2 cdot 1^2) = e^0 (1 + 2) = 1 cdot 3 = 3 . Substituindo e na expressão:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = x cdot e^x^2 - y^2 cdot partialpartial y(x^2 - y^2) = x cdot e^x^2 - y^2 cdot (-2y) em relação a , ou seja, . A função depende de apenas através do expoente. Usando a regra da cadeia:

Passo 8

Simplificando, temos:
partial fpartial y = -2xy e^x^2 - y^2

Passo 9

Agora, vamos calcular partial fpartial y(1,1) = -2 cdot 1 cdot 1 cdot e^1^2 - 1^2 = -2 cdot 1 cdot 1 cdot e^0 = -2 cdot 1 cdot 1 cdot 1 = -2 . Substituindo e :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x(1,1) = 3 e partial fpartial y(1,1) = -2

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