Considere a superfície dada pela função
.
Encontre as derivadas parciais
e
.
Encontre as derivadas parciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
em
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde aprendemos a calcular derivadas parciais de funções de múltiplas variáveis. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é um produto de
e
, então vamos usar a regra do produto: se
e
, então
.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
. Então,
.
Logo,
.
Passo 5
Agora, aplicando a regra do produto:
Podemos simplificar colocando
em evidência:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Substituindo
e
na expressão:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
depende de
apenas através do expoente. Usando a regra da cadeia:
Passo 8
Simplificando, temos:
Passo 9
Agora, vamos calcular
. Substituindo
e
:
Resposta
As derivadas parciais são: