5-22 Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
F(x, y)=x y1+e^x-y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o limite da função de duas variáveis F(x,y)=xy1+e^x-y quando (x,y)to(0,0). O conteúdo envolvido é limite de funções de várias variáveis e vamos usar propriedades de limites e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador é contínuo em (0,0) e que
lim(x,y)to(0,0)l(1+e^x-yr)=1+e^0=2
Como 1+e^x-y nunca se anula e fica sempre maior que 1, podemos controlar F(x,y) pelo numerador.

Passo 3

Note que para todo (x,y) próximo de (0,0) vale
|xy1+e^x-y|<=|xy|1=|xy|
Mas sabemos que
lim(x,y)to(0,0)|xy|=0
Logo, pelo Teorema do Confronto, F(x,y) também tende a 0 quando (x,y)to(0,0).

Resposta

0

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