Uma lámina de metal está situada num plano de modo que a temperatura
num ponto
é inversamente proporcional á distância do ponto á origem. Sabendo que a temperatura no ponto
é
, determine: A direção em que
aumenta mais rapidamente no ponto
.
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura T(x,y) numa lámina é inversamente proporcional à distância r = √(x²+y²) até a origem. No ponto P=(3,4) temos T=100 °C. Queremos a direção em que T aumenta mais rapidamente em P, o que está dado pelo gradiente de T naquele ponto.
Passo 2
Como T é inversamente proporcional a r, podemos escrever T(x,y)=k/r, onde r=√(x²+y²). Para achar k usamos T(3,4)=100 e r(3,4)=5:
Logo:
Passo 3
Agora calculamos o gradiente de T:
Para derivar usamos a regra da cadeia em cada variável.
Para derivar
Passo 4
Avaliaremos essas derivadas em P=(3,4). Como x²+y²=25 temos (x²+y²)^{3/2}=125. Assim:
Portanto
Passo 5
A direção de maior aumento de T em P é a direção do vetor gradiente. Normalizando
:
Resposta
A direção de maior aumento é o vetor unitário
.