Uma lámina de metal está situada num plano de modo que a temperatura T=T(x, y) num ponto (x, y) é inversamente proporcional á distância do ponto á origem. Sabendo que a temperatura no ponto P=(3,4) é 100^circ C, determine: A direção em que T aumenta mais rapidamente no ponto P.

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura T(x,y) numa lámina é inversamente proporcional à distância r = √(x²+y²) até a origem. No ponto P=(3,4) temos T=100 °C. Queremos a direção em que T aumenta mais rapidamente em P, o que está dado pelo gradiente de T naquele ponto.

Passo 2

Como T é inversamente proporcional a r, podemos escrever T(x,y)=k/r, onde r=√(x²+y²). Para achar k usamos T(3,4)=100 e r(3,4)=5:
T(3,4)=k5=100 Rightarrow k=500
Logo:
T(x,y)=500raizx^2+y^2

Passo 3

Agora calculamos o gradiente de T:
Para derivar T(x,y)=500,(x^2+y^2)^-1/2 usamos a regra da cadeia em cada variável.
partial Tpartial x=-500,x,(x^2+y^2)^-3/2, partial Tpartial y=-500,y,(x^2+y^2)^-3/2

Passo 4

Avaliaremos essas derivadas em P=(3,4). Como x²+y²=25 temos (x²+y²)^{3/2}=125. Assim:
partial Tpartial x(3,4)=-500cdot3125=-12, partial Tpartial y(3,4)=-500cdot4125=-16
Portanto
nabla T(3,4)=(-12,-16)

Passo 5

A direção de maior aumento de T em P é a direção do vetor gradiente. Normalizando nabla T(3,4)=(-12,-16):
u=(-12,-16)raiz(-12)^2+(-16)^2=(-12,-16)20=l(-35,-45r)

Resposta

A direção de maior aumento é o vetor unitário l(-tfrac35,-tfrac45r).

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