Determine os pontos críticos de: z=e^1+x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função de duas variáveis definida por z = e^1 + x^2 + y^2. O conteúdo envolvido é derivadas parciais e condição de ponto crítico (gradiente igual a zero). Vamos precisar calcular partial zpartial x e partial zpartial y e igualá-las a zero.

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais, lembramos que a derivada de e^u em relação a uma variável é e^u cdot u'. Aqui u = 1 + x^2 + y^2. Então:
partial zpartial x = e^1 + x^2 + y^2 cdot partialpartial x(1 + x^2 + y^2) = e^1 + x^2 + y^2 cdot 2x
partial zpartial y = e^1 + x^2 + y^2 cdot partialpartial y(1 + x^2 + y^2) = e^1 + x^2 + y^2 cdot 2y

Passo 3

Para achar os pontos críticos, impomos nabla z = (0,0), ou seja:
e^1 + x^2 + y^2 cdot 2x = 0
e^1 + x^2 + y^2 cdot 2y = 0
Como e^1 + x^2 + y^2>0 para todo (x,y), só resta ter 2x = 0 e 2y = 0. Daí x = 0 e y = 0.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0).

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