22 Determine os valores do número natural n \geq 2, para os quais (\sqrt{2}+\sqrt{2} i)^{n}
(a) é um número real;
(b) é um imaginário puro.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \sqrt{2}+\sqrt{2}\,i e pede, para n natural com n\ge 2:\n
(a) para quais valores de n a potência (\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i)^{n} é um número real;\n
(b) para quais valores de n a potência (\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i)^{n} é um imaginário puro.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
  • A base da potência é o complexo \sqrt{2}+\sqrt{2}\,i.\n
  • O expoente é um número natural n com n\ge 2.\n
  • Precisamos classificar os n que tornam a potência real (parte imaginária zero) ou imaginária pura (parte real zero).

Passo 2

Primeiro vamos escrever \sqrt{2}+\sqrt{2}\,i numa forma polar, porque fica muito fácil elevar complexos à potência nessa forma. Para isso calculamos o módulo e o argumento.\n
O módulo r de um complexo x+yi é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Aqui x=\sqrt{2} e y=\sqrt{2}, então
r=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2.
Portanto o módulo é 2.

Passo 3

O argumento \theta (ângulo) de x+yi é dado por \theta=\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big) quando x>0. Aqui \tfrac{y}{x}=1, logo
\theta=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Portanto o complexo pode ser escrito em forma polar como
\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i = r(\cos\theta + i\sin\theta) = 2\big(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\big).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de De Moivre (explicando rapidamente por que ela vale): se um complexo está em forma polar r(\cos\theta + i\sin\theta), então elevar à potência n multiplica o ângulo por n e eleva o módulo à potência n, ou seja
\big(r(\cos\theta + i\sin\theta)\big)^{n} = r^{n}\big(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\big).
(Isto vem da propriedade exponencial e^{i\theta} e da multiplicação de complexos em forma polar.)

Passo 5

Aplicando De Moivre ao nosso número:
(\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i)^{n} = \big(2(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\big)^{n} = 2^{n}\big(\cos\frac{n\pi}{4} + i\sin\frac{n\pi}{4}\big).
Então a parte real é 2^{n}\cos\frac{n\pi}{4} e a parte imaginária é 2^{n}\sin\frac{n\pi}{4}.

Passo 6

Para que a potência seja um número real, a parte imaginária deve ser zero. Como 2^{n}\neq 0, temos a condição
\sin\frac{n\pi}{4}=0.
A função \sin t é zero quando t=k\pi para algum inteiro k. Assim
\frac{n\pi}{4}=k\pi \quad\Rightarrow\quad \frac{n}{4}=k \quad\Rightarrow\quad n=4k,
onde k é inteiro. Como n é natural e n\ge 2, os valores possíveis são n=4,8,12,\dots. Em notação modular, n\equiv 0 \pmod{4} (com n\ge4).

Passo 7

Para que a potência seja um imaginário puro, a parte real deve ser zero. Então, novamente com 2^{n}\neq 0,
\cos\frac{n\pi}{4}=0.
A função \cos t é zero quando t=\frac{\pi}{2}+k\pi para algum inteiro k. Assim
\frac{n\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad \frac{n}{4}=\frac{1}{2}+k \quad\Rightarrow\quad n=2+4k,
onde k é inteiro. Como n é natural e n\ge 2, os valores possíveis são n=2,6,10,14,\dots. Em notação modular, n\equiv 2 \pmod{4} (com n\ge2).

Passo 8

Vamos checar dois exemplos rápidos para ganhar confiança:\n
  • Para n=4 (caso real): \displaystyle (\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i)^{4}=2^{4}\big(\cos\pi + i\sin\pi\big)=16(-1+0i)=-16, real.\n
  • Para n=2 (caso imaginário puro): \displaystyle (\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i)^{2}=2^{2}\big(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\big)=4(0+i)=4i, imaginário puro.\n
    Tudo bate com as fórmulas obtidas.

Resposta

(a) n=4,8,12,\dots (ou seja, n\equiv 0\pmod{4}, com n\ge 4).\n
(b) n=2,6,10,\dots (ou seja, n\equiv 2\pmod{4}, com n\ge 2).

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