22 Determine os valores do número natural
, para os quais
(a) é um número real;
(b) é um imaginário puro.
(a) é um número real;
(b) é um imaginário puro.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede, para
natural com
:\n
(a) para quais valores de a potência
é um número real;\n
(b) para quais valores de a potência
é um imaginário puro.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
(a) para quais valores de
(b) para quais valores de
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
- A base da potência é o complexo
.\n - O expoente é um número natural
com .\n - Precisamos classificar os
que tornam a potência real (parte imaginária zero) ou imaginária pura (parte real zero).
Passo 2
Primeiro vamos escrever
numa forma polar, porque fica muito fácil elevar complexos à potência nessa forma. Para isso calculamos o módulo e o argumento.\n
O módulo de um complexo
é
. Aqui
e
, então
O módulo
Portanto o módulo é
.
Passo 3
O argumento
(ângulo) de
é dado por
quando
. Aqui
, logo
Portanto o complexo pode ser escrito em forma polar como
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de De Moivre (explicando rapidamente por que ela vale): se um complexo está em forma polar
, então elevar à potência
multiplica o ângulo por
e eleva o módulo à potência
, ou seja
(Isto vem da propriedade exponencial
e da multiplicação de complexos em forma polar.)
Passo 5
Aplicando De Moivre ao nosso número:
Então a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 6
Para que a potência seja um número real, a parte imaginária deve ser zero. Como
, temos a condição
A função
é zero quando
para algum inteiro
. Assim
onde
é inteiro. Como
é natural e
, os valores possíveis são
. Em notação modular,
(com
).
Passo 7
Para que a potência seja um imaginário puro, a parte real deve ser zero. Então, novamente com
,
A função
é zero quando
para algum inteiro
. Assim
onde
é inteiro. Como
é natural e
, os valores possíveis são
. Em notação modular,
(com
).
Passo 8
Vamos checar dois exemplos rápidos para ganhar confiança:\n
- Para
(caso real): , real.\n - Para
(caso imaginário puro): , imaginário puro.\n
Tudo bate com as fórmulas obtidas.
Resposta
(a)
(ou seja,
, com
).\n
(b) (ou seja,
, com
).
(b)