Calcule as potências abaixo, usando a forma polar do número complexo:
(-\sqrt{3}-i)^{10};

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
Dado o número complexo \;-\sqrt{3}-i\;. A tarefa é calcular a potência \;(-\sqrt{3}-i)^{10}\; usando a forma polar do número complexo.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
\;z = -\sqrt{3}-i\; (coordenadas no plano complexo: parte real \;-\sqrt{3}\;, parte imaginária \;-1\;).\n
Pergunta: encontrar \;z^{10} = (-\sqrt{3}-i)^{10}\; e apresentar o resultado (preferivelmente em forma a + bi).

Passo 2

Calcular o módulo \;r de \;z.\n
Definição e aula rápida: o módulo de um complexo \;z = x+iy\; é \;r = \sqrt{x^2 + y^2}\;. Aqui \;x = -\sqrt{3}\; e \;y = -1\;.\n
Cálculo:
r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2.

Passo 3

Determinar o argumento \;\theta de \;z.\n
Conceito: o argumento \theta é o ângulo que o vetor (x,y) faz com o eixo positivo dos x. Para um ponto (x,y) podemos usar \theta = \operatorname{atan2}(y,x) ou calcular \arctan(|y/x|) e ajustar conforme o quadrante.\n
Aqui \;x=-\sqrt{3}<0\; e \;y=-1<0\;, então o ponto está no terceiro quadrante. Primeiro calcule a tangente do ângulo de referência:
\left|\frac{y}{x}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad\Rightarrow\quad \arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}.
Como estamos no terceiro quadrante, podemos usar \theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} ou o equivalente \theta = -\frac{5\pi}{6}. Ambos representam o mesmo ângulo módulo 2\pi. Vou escolher \theta = -\frac{5\pi}{6} (fica mais curto ao multiplicar por 10).

Passo 4

Escrever \;z\; na forma polar.\n
Forma polar (aula rápida): um complexo \;z\; pode ser escrito como \;z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big)\;, onde \;r\; é o módulo e \;\theta\; o argumento.\n
Aqui:
z = 2\big(\cos(-\tfrac{5\pi}{6}) + i\sin(-\tfrac{5\pi}{6})\big).

Passo 5

Enunciar e explicar o Teorema de De Moivre que vamos usar.\n
Teorema de De Moivre (aula curta): para um complexo em forma polar \;r(\cos\theta + i\sin\theta)\; e inteiro n, vale
\big(r(\cos\theta + i\sin\theta)\big)^n = r^n\big(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\big).
Ou seja, elevamos o módulo à potência n e multiplicamos o ângulo por n. Isso transforma uma potência complicada em trigonometria simples.

Passo 6

Aplicar De Moivre para calcular \;z^{10}.\n
Usando \;r=2\;, \;\theta=-\tfrac{5\pi}{6}\; e n=10, temos:
z^{10} = 2^{10}\big(\cos(10\cdot (-\tfrac{5\pi}{6})) + i\sin(10\cdot (-\tfrac{5\pi}{6}))\big).
Calcule o módulo elevado:
2^{10} = 1024.
Calcule o ângulo multiplicado:
10\cdot\big(-\tfrac{5\pi}{6}\big) = -\tfrac{50\pi}{6} = -\tfrac{25\pi}{3}.

Passo 7

Reduzir o ângulo módulo 2\pi e avaliar as funções trigonométricas.\n
Queremos um ângulo equivalente entre -\pi e \pi (ou 0 e 2\pi). Subtraindo/ somando múltiplos de 2\pi = \tfrac{6\pi}{3}:
-\tfrac{25\pi}{3} + 8\pi = -\tfrac{25\pi}{3} + \tfrac{24\pi}{3} = -\tfrac{\pi}{3}.
Logo \cos\big(-\tfrac{25\pi}{3}\big) = \cos\big(-\tfrac{\pi}{3}\big) e \sin\big(-\tfrac{25\pi}{3}\big) = \sin\big(-\tfrac{\pi}{3}\big).\n
Conhecemos os valores trigonométricos clássicos (aula rápida de memorização):\n
\cos\big(-\tfrac{\pi}{3}\big) = \cos\big(\tfrac{\pi}{3}\big) = \tfrac{1}{2},
\sin\big(-\tfrac{\pi}{3}\big) = -\sin\big(\tfrac{\pi}{3}\big) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 8

Montar o resultado final substituindo os valores trigonométricos e simplificando.\n
Temos:
z^{10} = 1024\left(\tfrac{1}{2} + i\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = 1024\left(\tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Multiplicando:
z^{10} = 1024\cdot\tfrac{1}{2} \;-\; 1024\cdot i\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 512 \;-\; 512\,i\sqrt{3}.

Resposta

512-512\,i\sqrt{3}

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