Calcule as potências abaixo, usando a forma polar do número complexo: (-\sqrt{3}-i)^{10};
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
Dado o número complexo \;-\sqrt{3}-i\;. A tarefa é calcular a potência \;(-\sqrt{3}-i)^{10}\; usando a forma polar do número complexo.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n \;z = -\sqrt{3}-i\; (coordenadas no plano complexo: parte real \;-\sqrt{3}\;, parte imaginária \;-1\;).\n
Pergunta: encontrar \;z^{10} = (-\sqrt{3}-i)^{10}\; e apresentar o resultado (preferivelmente em forma a + bi).
Passo 2
Calcular o módulo \;r de \;z.\n
Definição e aula rápida: o módulo de um complexo \;z = x+iy\; é \;r = \sqrt{x^2 + y^2}\;. Aqui \;x = -\sqrt{3}\; e \;y = -1\;.\n
Cálculo:
Determinar o argumento \;\theta de \;z.\n
Conceito: o argumento \theta é o ângulo que o vetor (x,y) faz com o eixo positivo dos x. Para um ponto (x,y) podemos usar \theta = \operatorname{atan2}(y,x) ou calcular \arctan(|y/x|) e ajustar conforme o quadrante.\n
Aqui \;x=-\sqrt{3}<0\; e \;y=-1<0\;, então o ponto está no terceiro quadrante. Primeiro calcule a tangente do ângulo de referência:
Como estamos no terceiro quadrante, podemos usar \theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} ou o equivalente \theta = -\frac{5\pi}{6}. Ambos representam o mesmo ângulo módulo 2\pi. Vou escolher \theta = -\frac{5\pi}{6} (fica mais curto ao multiplicar por 10).
Passo 4
Escrever \;z\; na forma polar.\n
Forma polar (aula rápida): um complexo \;z\; pode ser escrito como \;z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big)\;, onde \;r\; é o módulo e \;\theta\; o argumento.\n
Aqui:
z = 2\big(\cos(-\tfrac{5\pi}{6}) + i\sin(-\tfrac{5\pi}{6})\big).
Passo 5
Enunciar e explicar o Teorema de De Moivre que vamos usar.\n
Teorema de De Moivre (aula curta): para um complexo em forma polar \;r(\cos\theta + i\sin\theta)\; e inteiro n, vale
Reduzir o ângulo módulo 2\pi e avaliar as funções trigonométricas.\n
Queremos um ângulo equivalente entre -\pi e \pi (ou 0 e 2\pi). Subtraindo/ somando múltiplos de 2\pi = \tfrac{6\pi}{3}:
Logo \cos\big(-\tfrac{25\pi}{3}\big) = \cos\big(-\tfrac{\pi}{3}\big) e \sin\big(-\tfrac{25\pi}{3}\big) = \sin\big(-\tfrac{\pi}{3}\big).\n
Conhecemos os valores trigonométricos clássicos (aula rápida de memorização):\n