Calcule as potências abaixo, usando a forma polar do número complexo:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência
.
Informações dadas: o número complexo é e o expoente é
.
Vamos usar a forma polar do número complexo e a fórmula de De Moivre para elevar ao expoente.
Informações dadas: o número complexo é
Vamos usar a forma polar do número complexo e a fórmula de De Moivre para elevar ao expoente.
Passo 2
Encontrar o módulo
do número complexo.
A fórmula do módulo de um número complexo é
A fórmula do módulo de um número complexo
onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Aqui
e
. Então
Explicação rápida: somamos os quadrados das partes real e imaginária e tiramos a raiz quadrada.
Passo 3
Encontrar o argumento
(ângulo) do número complexo.
Para com
, uma forma prática é usar
Para
lembrando de ajustar o quadrante conforme os sinais de
e
. Aqui
e
, portanto estamos no primeiro quadrante e não há ajuste. Assim
Resumo: o ângulo é
(ou
).
Passo 4
Escrever
na forma polar (forma trigonométrica). A forma polar/trigonométrica é
Substituindo
e
,
Passo 5
Apresentar a fórmula que vamos usar para elevar ao expoente: Teorema de De Moivre.
De Moivre diz que, para e inteiro
,
De Moivre diz que, para
Aqui
é o módulo,
o argumento e
o expoente. Vamos aplicar com
.
Passo 6
Aplicar De Moivre e calcular
e
. Primeiro
:
Desenvolvendo potências:
Continuando
. Portanto
Passo 7
Calcular
:
Agora precisamos dos valores trigonométricos em
. No círculo unitário
é
, no terceiro quadrante, e
Explicação:
tem referência
, e no terceiro quadrante ambos cosseno e seno são negativos.
Passo 8
Montar o resultado pela fórmula de De Moivre em forma polar e então converter para forma retangular. Pela fórmula:
Substituindo os valores de cosseno e seno:
Agora multiplicamos termo a termo. Note que
. Então
para a parte real, e o mesmo para a parte imaginária multiplicada por
:
Portanto