Calcule as potências abaixo, usando a forma polar do número complexo:
(2+2 i)^{5};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência (2+2 i)^{5}.
Informações dadas: o número complexo é 2+2 i e o expoente é 5.
Vamos usar a forma polar do número complexo e a fórmula de De Moivre para elevar ao expoente.

Passo 2

Encontrar o módulo r do número complexo.
A fórmula do módulo de um número complexo a+bi é
r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Aqui a=2 e b=2. Então
r=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Explicação rápida: somamos os quadrados das partes real e imaginária e tiramos a raiz quadrada.

Passo 3

Encontrar o argumento \theta (ângulo) do número complexo.
Para a+bi com a\neq0, uma forma prática é usar
\theta=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right),
lembrando de ajustar o quadrante conforme os sinais de a e b. Aqui a=2>0 e b=2>0, portanto estamos no primeiro quadrante e não há ajuste. Assim
\theta=\arctan\!\left(\frac{2}{2}\right)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Resumo: o ângulo é \pi/4 (ou 45^\circ).

Passo 4

Escrever 2+2 i na forma polar (forma trigonométrica). A forma polar/trigonométrica é
a+bi=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr).
Substituindo r=2\sqrt{2} e \theta=\pi/4,
2+2 i = 2\sqrt{2}\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{4})+i\sin(\tfrac{\pi}{4})\bigr).

Passo 5

Apresentar a fórmula que vamos usar para elevar ao expoente: Teorema de De Moivre.
De Moivre diz que, para r(\cos\theta+i\sin\theta) e inteiro n,
\bigl[r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr]^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
Aqui r é o módulo, \theta o argumento e n o expoente. Vamos aplicar com n=5.

Passo 6

Aplicar De Moivre e calcular r^{5} e 5\theta. Primeiro r^{5}:
r^{5}=(2\sqrt{2})^{5}.
Desenvolvendo potências:
(2\sqrt{2})^{5}=2^{5}\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{5}=32\cdot 2^{5/2}.
Continuando 2^{5/2}=2^{2}\cdot 2^{1/2}=4\sqrt{2}. Portanto
(2\sqrt{2})^{5}=32\cdot 4\sqrt{2}=128\sqrt{2}.

Passo 7

Calcular 5\theta:
5\theta=5\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
Agora precisamos dos valores trigonométricos em \frac{5\pi}{4}. No círculo unitário \frac{5\pi}{4} é 225^\circ, no terceiro quadrante, e
\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Explicação: \frac{5\pi}{4} tem referência \pi/4, e no terceiro quadrante ambos cosseno e seno são negativos.

Passo 8

Montar o resultado pela fórmula de De Moivre em forma polar e então converter para forma retangular. Pela fórmula:
(2+2 i)^{5}=r^{5}\bigl(\cos(5\theta)+i\sin(5\theta)\bigr)=128\sqrt{2}\bigl(\cos(\tfrac{5\pi}{4})+i\sin(\tfrac{5\pi}{4})\bigr).
Substituindo os valores de cosseno e seno:
(2+2 i)^{5}=128\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right).
Agora multiplicamos termo a termo. Note que \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{2}=1. Então
128\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-128,
para a parte real, e o mesmo para a parte imaginária multiplicada por i:
128\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)i=-128 i.
Portanto
(2+2 i)^{5}=-128-128 i.

Resposta

-128-128 i

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