22- Dois sócios lucraram, em um determinado período, \mathrm{R} \ 28.200,00 . O primeiro aplicou R\ 80.000,00 na sociedade, durante 9 meses, e o segundo R$ 20.000,00, durante 11 meses. Qual foi o lucro de cada um?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Lucro total da sociedade: \text{R\$ }28.200,00.
  • Primeiro sócio aplicou \text{R\$ }80.000,00 durante 9 meses.
  • Segundo sócio aplicou \text{R\$ }20.000,00 durante 11 meses.
O que se pede:
  • Determinar quanto do lucro coube a cada sócio (quanto recebeu o primeiro e quanto recebeu o segundo).

Passo 2

Ideia-chave (sem resolver ainda): quando sócios investem quantias diferentes por períodos diferentes, o lucro é dividido em razão do produto “capital × tempo” de cada um. Vou explicar isso com calma.
Definindo variáveis:
  • C_1 = capital do primeiro sócio (em reais),
  • t_1 = tempo que o capital do primeiro ficou aplicado (em meses),
  • C_2 = capital do segundo sócio,
  • t_2 = tempo do segundo.
Regra: as partes dos lucros são proporcionais a C_1 t_1 e C_2 t_2. Ou seja, se L é o lucro total, a parte do primeiro sócio é
\text{parte}_1 = \frac{C_1 t_1}{C_1 t_1 + C_2 t_2}\cdot L
e a do segundo é
\text{parte}_2 = \frac{C_2 t_2}{C_1 t_1 + C_2 t_2}\cdot L.
Por que isso faz sentido (explicação curta e intuitiva): cada sócio “coloca” uma certa quantidade de dinheiro por um certo tempo; o produto C\cdot t mede o esforço econômico total contribuído — quanto capital multiplicado pelo tempo — e o lucro é dividido conforme esses esforços relativos.

Passo 3

Calcular os produtos C_1 t_1 e C_2 t_2 com os dados do enunciado.
Os valores são:
C_1 = \text{R\$ }80.000,00,\qquad t_1 = 9
C_2 = \text{R\$ }20.000,00,\qquad t_2 = 11
Então
C_1 t_1 = 80.000 \times 9 = 720.000
C_2 t_2 = 20.000 \times 11 = 220.000
(essas unidades são “real·mês”, mas só interessam para formar a razão).

Passo 4

Calcular a razão entre as contribuições: somando as partes
C_1 t_1 + C_2 t_2 = 720.000 + 220.000 = 940.000.
A fração do lucro do primeiro sócio é
\frac{C_1 t_1}{C_1 t_1 + C_2 t_2}=\frac{720.000}{940.000}.
Podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por 20.000:
\frac{720.000}{940.000}=\frac{36}{47}.
Analogamente, a fração do segundo sócio é
\frac{220.000}{940.000}=\frac{11}{47}.
(Confere que \dfrac{36}{47}+\dfrac{11}{47}=1.)

Passo 5

Agora aplicamos essas frações ao lucro total L=\text{R\$ }28.200,00.
Observação prática muito útil: note que
28.200 = 47 \times 600,
pois 47\cdot600=28.200. Isso facilita as contas porque
\text{parte}_1 = \frac{36}{47}\cdot 28.200 = 36\cdot\bigg(\frac{28.200}{47}\bigg)=36\cdot 600
e
\text{parte}_2 = \frac{11}{47}\cdot 28.200 = 11\cdot\bigg(\frac{28.200}{47}\bigg)=11\cdot 600.

Passo 6

Calcule os produtos finais:
36\cdot 600 = 21.600
11\cdot 600 = 6.600
Verificação rápida: 21.600 + 6.600 = 28.200, que é o lucro total, então está consistente.

Resposta

Primeiro sócio: \text{R\$ }21.600,00
Segundo sócio: \text{R\$ }6.600,00

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