20- Certa sociedade constituída por três sócios, com o capital de R$180.000,00 obteve em determinado período \mathrm{R} \25.200,00 de lucro. Sabendo que o sócio A entrou com 1/3 do capital, que o sócio B entrou com 2/5 e que o sócioóóóC$ entrou com o restante, determine o lucro de cada sócio.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Capital total da sociedade: \mathrm{R}\$\,180.000{,}00.
  • Lucro total a distribuir: \mathrm{R}\$\,25.200{,}00.
  • Frações do capital investidas pelos sócios:
    • Sócio A: \dfrac{1}{3} do capital.
    • Sócio B: \dfrac{2}{5} do capital.
    • Sócio C: entrou com o restante do capital (ou seja, a fração que falta para completar 1).
      O que o problema pede: determinar quanto (em reais) cada sócio receberá do lucro de \mathrm{R}\$\,25.200{,}00.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática): quando o lucro é dividido segundo a participação de capital, cada sócio recebe uma parcela do lucro proporcional à fração do capital que ele aportou. Formalmente, se L é o lucro total e f_i é a fração do capital do sócio i, então a parcela do lucro do sócio i é
\text{lucro}_i = L \cdot f_i.
Aqui L é \mathrm{R}\$\,25.200{,}00 e f_i serão as frações de A, B e C. Vou aplicar essa fórmula diretamente depois de determinar f_C (a fração de C) e, se for útil, também calcular os valores absolutos dos capitais aportados por cada sócio.

Passo 3

Calcular a fração do capital que pertence ao sócio C. Somamos as frações de A e B e subtraímos de 1:
\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15}.
Portanto a fração restante (para o sócio C) é
1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}.

Passo 4

Calcular os valores do capital aportado por cada sócio (opcional, mas ajuda a entender):
  • Capital de A:
\text{capital}_A = 180000\cdot\frac{1}{3}= \frac{180000}{3}=60000,
ou seja \mathrm{R}\$\,60.000{,}00.
  • Capital de B:
\text{capital}_B = 180000\cdot\frac{2}{5}= \left(\frac{180000}{5}\right)\cdot 2 =36000\cdot 2=72000,
ou seja \mathrm{R}\$\,72.000{,}00.
  • Capital de C (checagem):
\text{capital}_C = 180000-\bigl(60000+72000\bigr)=180000-132000=48000,
ou usando a fração \dfrac{4}{15}:
180000\cdot\frac{4}{15}=\left(\frac{180000}{15}\right)\cdot4=12000\cdot4=48000,
ou seja \mathrm{R}\$\,48.000{,}00.
Verificação rápida: 60000+72000+48000=180000 (confere).

Passo 5

Agora distribuímos o lucro \mathrm{R}\$\,25.200{,}00 segundo as frações \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{5} e \dfrac{4}{15}, usando \text{lucro}_i = L\cdot f_i.
  • Lucro do sócio A:
\text{lucro}_A = 25200\cdot\frac{1}{3}=\frac{25200}{3}=8400,
ou seja \mathrm{R}\$\,8.400{,}00.
  • Lucro do sócio B:
\text{lucro}_B = 25200\cdot\frac{2}{5}=\left(\frac{25200}{5}\right)\cdot2=5040\cdot2=10080,
ou seja \mathrm{R}\$\,10.080{,}00.
  • Lucro do sócio C:
\text{lucro}_C = 25200\cdot\frac{4}{15}=\left(\frac{25200}{15}\right)\cdot4=1680\cdot4=6720,
ou seja \mathrm{R}\$\,6.720{,}00.
Cheque final: 8400+10080+6720=25200 (a soma das partes é igual ao lucro total, portanto está consistente).

Passo 6

Resumo rápido e incentivo: cada sócio recebeu exatamente a parte proporcional ao capital que colocou. Você pode fazer essas contas sem calculadora usando divisões e múltiplos simples (dividir por 3,5,15 e multiplicar pelo numerador), como mostrei. Vai dar tudo certo na prova — respira e revisa esses passos algumas vezes.

Resposta

A: \mathrm{R}\$\,8.400{,}00
B: \mathrm{R}\$\,10.080{,}00
C: \mathrm{R}\$\,6.720{,}00

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