Numa indústria metalúrgica, a produção diária de um certo componente de motor é de 16.000 unidades. Foram admitidos mais 100 operários e a produção diária passou a ser de 20.000 unidades. Qual era o número de operários que trabalhavam na produção da indústria antes dessa admissão?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A produção diária inicial é de
unidades. - Após admitir mais
operários, a produção diária passou a ser de unidades.
O que o problema pede:
- Determinar o número de operários que trabalhavam na produção antes da admissão (ou seja, quantos operários havia inicialmente).
Passo 2
Vamos pensar numa ideia simples e comum: cada operário produz, em média, a mesma quantidade por dia. Isso significa que a produção total é diretamente proporcional ao número de operários. Para transformar isso em matemática, definimos:
- Seja
o número de operários antes da admissão. - Seja
a produção média por operário por dia (unidades por operário).
Com essas definições, a produção total é dada por:
Passo 3
Usando as informações do enunciado com as variáveis definidas:
- Antes da admissão:
- Depois da admissão (com
a mais):
Essas duas equações expressam a mesma taxa
. Podemos igualar as expressões de
obtidas em cada uma para eliminar
e achar
.
Passo 4
Expressando
em cada caso e igualando:
Igualando-as:
Agora resolvemos essa equação passo a passo.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores (ou simplesmente cruzando termos):
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Passando
para o outro lado:
Agora isolamos
dividindo por
:
Passo 6
Cheque rápido para ver se faz sentido: se inicialmente havia
operários, a produção por operário seria
Com
operários a mais, total de
operários produziria
que bate com o enunciado. Tudo consistente.