2.22 Duas lâminas uniformes de cargas idênticas com \rho_{y}=100 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} localizam-se em z= \pm 2,0 \mathrm{~cm}, no espaço livre. Qual força por unidade de área cada lâmina exerce na outra?

Passo 1

O enunciado dá duas lâminas uniformes de cargas idênticas com \rho_{y}=100\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2} localizadas em z=\pm 2,0\\ \mathrm{cm} no espaço livre. A pergunta é: qual a força por unidade de área que cada lâmina exerce na outra? Dados relevantes (convertidos para o SI): \rho_{y}=100\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}=1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} e as posições z=\pm0{,}020\\ \mathrm{m}. Deve-se encontrar a força por unidade de área (pressione eletrostática) que uma lâmina exerce sobre a outra.

Passo 2

Vamos lembrar e deduzir a fórmula do campo elétrico produzido por uma lâmina infinita carregada (para entender a resolução): considere uma lâmina plana, infinita e com densidade superficial de carga \sigma ( \sigma tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}). Pela Lei de Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}.
Escolhemos uma caixa cilíndrica (pílula) que atravessa a lâmina; o fluxo ocorre apenas pelas duas tampas da pílula porque o campo é perpendicular à lâmina e paralelo às tampas. Se o campo afastando-se da lâmina tiver magnitude E em cada lado, o fluxo total é 2EA, onde A é a área da tampa, e a carga interna é \sigma A. Assim:
2EA=\frac{\sigma A}{\epsilon_{0}}\quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}.
Aqui \epsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo e \sigma é a densidade superficial de carga. Observação importante: este E é o campo produzido pela lâmina em cada lado (mesma magnitude, direções opostas dos lados).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: cada lâmina produz, por si só, um campo de magnitude
E_{\text{lâmina}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}},â
onde tomamos \sigma=\rho_{y}=1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} e \epsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m} (valor conhecido da permissividade do vácuo). Substituindo numericamen­te, a magnitude do campo produzido por uma lâmina é
E_{\text{lâmina}}=\frac{1{,}0\times10^{-7}}{2\cdot 8{,}854\times10^{-12}}\\ \mathrm{V/m}.â

Passo 4

Calculemos esse valor numérico passo a passo (faça a conta na prova do mesmo modo): o denominador é 2\epsilon_{0}=2\cdot 8{,}854\times10^{-12}=1{,}7708\times10^{-11}. Então
E_{\text{lâmina}}=\frac{1{,}0\times10^{-7}}{1{,}7708\times10^{-11}}=5{,}65\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.â
Interpretação física: no espaço entre as lâminas, os campos gerados por cada lâmina têm direções opostas e se cancelam (por isso o campo resultante entre é zero), mas ao calcular a força que uma lâmina sente, usamos apenas o campo produzido pela outra lâmina atuando sobre as cargas da primeira.

Passo 5

Agora a relação entre força sobre uma lâmina e campo externo: uma pequena área dA da lâmina carrega carga dq=\sigma\,dA. A força sobre esse elemento devido ao campo externo E_{\text{ext}} é dF=dq\cdot E_{\text{ext}}=\sigma E_{\text{ext}}\,dA. Dividindo por dA obtemos a força por unidade de área (pressão):
\frac{F}{A}=\sigma E_{\text{ext}}.
No nosso caso o campo externo que age sobre uma lâmina é exatamente o campo produzido pela outra lâmina, isto é E_{\text{ext}}=E_{\text{lâmina}}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_{0}}â. Substituindo:
\frac{F}{A}=\sigma\cdot\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}=\frac{\sigma^{2}}{2\epsilon_{0}}.
Observação didática: não usamos o próprio campo da lâmina para calcular a força sobre ela (isso levaria a auto-força). O procedimento certo é usar apenas o campo externo (aqui, o produzido pela outra lâmina).

Passo 6

Agora calculemos numericamente a pressão usando \sigma=1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}:
\frac{F}{A}=\frac{(1{,}0\times10^{-7})^{2}}{2\cdot 8{,}854\times10^{-12}}=\frac{1{,}0\times10^{-14}}{1{,}7708\times10^{-11}}=5{,}65\times10^{-4}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
Direção física: como as cargas são do mesmo sinal, a força é de repulsão — cada lâmina exerce sobre a outra uma pressão de sentido que tende a afastá-las (ou seja, cada lâmina empurra a outra para longe).

Resposta

5{,}65\times10^{-4}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} (repulsão)

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