2.22 Duas lâminas uniformes de cargas idênticas com
localizam-se em
, no espaço livre. Qual força por unidade de área cada lâmina exerce na outra?
Passo 1
O enunciado dá duas lâminas uniformes de cargas idênticas com
localizadas em
no espaço livre. A pergunta é: qual a força por unidade de área que cada lâmina exerce na outra? Dados relevantes (convertidos para o SI):
e as posições
. Deve-se encontrar a força por unidade de área (pressione eletrostática) que uma lâmina exerce sobre a outra.
Passo 2
Vamos lembrar e deduzir a fórmula do campo elétrico produzido por uma lâmina infinita carregada (para entender a resolução): considere uma lâmina plana, infinita e com densidade superficial de carga
(
tem unidade
). Pela Lei de Gauss:
Escolhemos uma caixa cilíndrica (pílula) que atravessa a lâmina; o fluxo ocorre apenas pelas duas tampas da pílula porque o campo é perpendicular à lâmina e paralelo às tampas. Se o campo afastando-se da lâmina tiver magnitude
em cada lado, o fluxo total é
, onde
é a área da tampa, e a carga interna é
. Assim:
Aqui
é a permissividade elétrica do vácuo e
é a densidade superficial de carga. Observação importante: este
é o campo produzido pela lâmina em cada lado (mesma magnitude, direções opostas dos lados).
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema: cada lâmina produz, por si só, um campo de magnitude
onde tomamos
e
(valor conhecido da permissividade do vácuo). Substituindo numericamente, a magnitude do campo produzido por uma lâmina é
Passo 4
Calculemos esse valor numérico passo a passo (faça a conta na prova do mesmo modo): o denominador é
. Então
Interpretação física: no espaço entre as lâminas, os campos gerados por cada lâmina têm direções opostas e se cancelam (por isso o campo resultante entre é zero), mas ao calcular a força que uma lâmina sente, usamos apenas o campo produzido pela outra lâmina atuando sobre as cargas da primeira.
Passo 5
Agora a relação entre força sobre uma lâmina e campo externo: uma pequena área
da lâmina carrega carga
. A força sobre esse elemento devido ao campo externo
é
. Dividindo por
obtemos a força por unidade de área (pressão):
No nosso caso o campo externo que age sobre uma lâmina é exatamente o campo produzido pela outra lâmina, isto é
. Substituindo:
Observação didática: não usamos o próprio campo da lâmina para calcular a força sobre ela (isso levaria a auto-força). O procedimento certo é usar apenas o campo externo (aqui, o produzido pela outra lâmina).
Passo 6
Agora calculemos numericamente a pressão usando
:
Direção física: como as cargas são do mesmo sinal, a força é de repulsão — cada lâmina exerce sobre a outra uma pressão de sentido que tende a afastá-las (ou seja, cada lâmina empurra a outra para longe).