Questão 01 - A combustão do propano na presença de oxigênio é de segunda ordem com relação ao propano, sendo as quantidades iniciais dos reagentes iguais 0,105 e 0,7 \mathrm{mol} / \mathrm{L}, respectivamente. De acordo com a reação química balanceada, responda:
\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8(\mathrm{~g})}+5 \mathrm{O}_{2}->3 \mathrm{CO}_{2}+4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
a) Qual o valor da constante de velocidade de reação a 20^{\circ} \mathrm{C}, quando em 90 segundos 15 \% da reação se completou;
b) A velocidade da reação nessas condições;
c) O tempo de meia vida do propano.
d) Considerando que a reação é de primeira ordem com relação ao oxigênio, calcule a constante de velocidade quando 45 \% da reação reagiu em uma hora de reação à 25^{\circ} \mathrm{C}.
Deduza todas as fórmulas necessárias.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que foi pedido e o que foi dado):
  • Reação balanceada: \mathrm{C_3H_{8(g)}} + 5\,\mathrm{O_{2}} \to 3\,\mathrm{CO_2} + 4\,\mathrm{H_2O}.
  • Concentrações iniciais (informadas): [\mathrm{C_3H_8}]_0 = 0,105\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e [\mathrm{O_2}]_0 = 0,70\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Para as alíneas (a)–(c): a reação é de segunda ordem com respeito ao propano (ou seja a ordem em propano é 2). Foi observado que após t = 90\\ \mathrm{s} completou-se 15\% da reação.
  • Pedido (a): determinar a constante de velocidade k a 20^\circ\mathrm{C} nas condições acima.
  • Pedido (b): determinar a velocidade da reação nessas condições (interpretei “nessas condições” como no instante em que 15% já reagiu, ou seja em t=90\\ \mathrm{s}).
  • Pedido (c): calcular o tempo de meia-vida do propano (para ordem 2).
  • Pedido (d): agora considerar que a reação é de primeira ordem com respeito ao oxigênio; dado que 45\% reagiu em 1\\ \mathrm{h} a 25^\circ\mathrm{C}, calcular a constante de velocidade correspondente.

Passo 2

Formulação do modelo cinético e dedução da lei integrada para segunda ordem (aulas rápidas e dedução).
  • Definimos a concentração do propano por A, ou seja A \equiv \mathrm{C_3H_8}. A ordem 2 em A significa que a expressão da velocidade é
\text{velocidade} = -\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2,
onde k é a constante de velocidade (unidade para ordem 2: \mathrm{mol^{-1}L\,s^{-1}} ou \mathrm{M^{-1}s^{-1}}).
  • Para obter a forma integrada usamos separação de variáveis e integração. Começamos com
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2.
Reescrevendo para integrar:
\frac{d[A]}{[A]^2} = -k\,dt.
Integramos desde t=0 (concentração [A]_0) até t=t (concentração [A]):
\int_{[A]_0}^{[A]} \frac{d[A]}{[A]^2} = -k \int_{0}^{t} dt.
A integral do lado esquerdo é -1/[A] avaliada entre os limites, logo obtemos
-\frac{1}{[A]} + \frac{1}{[A]_0} = -k t.
Multiplicando por -1 e isolando dá a forma usual:
\boxed{\frac{1}{[A]} = \frac{1}{[A]_0} + k t.}
Essa é a fórmula que vamos usar para achar k quando a ordem é 2.

Passo 3

Aplicar o dado “ 15\% da reação completou em 90\\ \mathrm{s}” para achar [A] no tempo t=90\\ \mathrm{s}.
  • Se 15\% reagiu, a fração que resta de A é 1-0,15 = 0,85.
  • Portanto
[A](90\,\mathrm{s}) = 0,85\,[A]_0 = 0,85 \times 0,105\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Calculando:
[A](90\,\mathrm{s}) = 0,08925\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 4

Determinar a constante k (alínea a) usando a forma integrada de ordem 2.
  • A fórmula integrada é
\frac{1}{[A](t)} = \frac{1}{[A]_0} + k t.
Isolando k:
k = \frac{1}{t}\left(\frac{1}{[A](t)} - \frac{1}{[A]_0}\right).
  • Substituímos os valores: [A]_0 = 0,105\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, [A](90\\ \mathrm{s}) = 0,08925\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, t=90\\ \mathrm{s}.
  • Calculando os recíprocos:
\frac{1}{[A](90)} = \frac{1}{0,08925} \approx 11,202247\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}, \qquad \frac{1}{[A]_0} = \frac{1}{0,105} \approx 9,5238095\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
  • Diferença e divisão por t:
k \approx \frac{11,202247 - 9,5238095}{90} \approx \frac{1,6806723}{90} \approx 0,0186741\\ \mathrm{mol^{-1}L\,s^{-1}}.
(Arredondei para um número razoável de algarismos significativos.)
  • Resultado (a): \;k \approx 0,0187\\ \mathrm{mol^{-1}L\,s^{-1}}.

Passo 5

Calcular a velocidade da reação nas mesmas condições (alínea b) — interpretação e cálculo numérico.
  • Convenção: a “velocidade da reação” (taxa) pode ser tomada como a velocidade de desaparecimento do propano em módulo, ou seja
\text{velocidade} = -\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2.
  • No instante considerado ( t=90\\ \mathrm{s}) temos [A]=0,08925\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e k\approx 0,0186741\\ \mathrm{mol^{-1}L\,s^{-1}}.
  • Calculamos [A]^2:
[A]^2 = (0,08925)^2 = 0,0079665625\\ \mathrm{mol^2\,L^{-2}}.
  • Multiplicando:
\text{velocidade} = k\,[A]^2 \approx 0,0186741 \times 0,0079665625 \approx 0,00014888\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}.
  • Interpretação este valor é a rapidez de consumo do propano (módulo). Pela estequiometria, a velocidade de consumo do oxigênio é 5 vezes maior (porque a reação consome 5 mol de \mathrm{O_2} por mol de propano), logo
-\frac{d[\mathrm{O_2}]}{dt} = 5 \times \text{velocidade} \approx 5 \times 0,00014888 \approx 0,0007444\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}}.

Passo 6

Tempo de meia-vida para reação de segunda ordem (alínea c) — dedução da fórmula e cálculo.
  • Meia-vida t_{1/2} é o tempo para [A] reduzir a metade: [A](t_{1/2}) = \tfrac{1}{2}[A]_0.
  • Usamos a forma integrada de ordem 2:
\frac{1}{[A](t_{1/2})} = \frac{1}{[A]_0} + k t_{1/2}.
Substituindo [A](t_{1/2}) = \tfrac{1}{2}[A]_0
\frac{1}{\tfrac{1}{2}[A]_0} = \frac{1}{[A]_0} + k t_{1/2} \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{[A]_0} = \frac{1}{[A]_0} + k t_{1/2}.
Isolando t_{1/2}:
k t_{1/2} = \frac{1}{[A]_0} \quad\Rightarrow\quad \boxed{t_{1/2} = \frac{1}{k\,[A]_0}.}
  • Substituímos k \approx 0,0186741\\ \mathrm{mol^{-1}L\,s^{-1}} e [A]_0 = 0,105\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}:
t_{1/2} \approx \frac{1}{0,0186741 \times 0,105} \approx \frac{1}{0,00196085} \approx 509,8\\ \mathrm{s}.
  • Resultado (c): t_{1/2} \approx 510\\ \mathrm{s} (aprox.).

Passo 7

Alínea (d): caso de primeira ordem em oxigênio — dedução da lei integrada e cálculo de k.
  • Agora tratamos B \equiv \mathrm{O_2} e assumimos cinética de primeira ordem em B:
-\frac{d[B]}{dt} = k\,[B],
onde aqui k tem unidade \mathrm{s^{-1}}.
  • A forma integrada para primeira ordem é obtida separando e integrando:
\frac{d[B]}{[B]} = -k\,dt \quad\Rightarrow\quad \int_{[B]_0}^{[B](t)} \frac{d[B]}{[B]} = -k \int_{0}^{t} dt
\ln\!\left(\frac{[B](t)}{[B]_0}\right) = -k t.
  • Dados: 45\% reagiu em t = 1\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}. Logo a fração que resta é 0,55 e
[B](3600\,\mathrm{s}) = 0,55\,[B]_0 = 0,55 \times 0,70\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} = 0,385\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Aplicando a lei integrada:
\ln\!\left(\frac{0,385}{0,70}\right) = \ln(0,55) = -k \times 3600.
Portanto
k = -\frac{1}{3600}\ln(0,55).
  • Calculando \ln(0,55)\approx -0,5978370, então
k \approx \frac{0,5978370}{3600} \approx 0,00016607\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Se desejar em unidades por hora: k \approx 0,00016607\times 3600 \approx 0,59784\\ \mathrm{h^{-1}}.
  • Resultado (d): k \approx 1,6607\times 10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}} (aprox.).

Resposta

a) k \approx 0,0187\\ \mathrm{mol^{-1}L\,s^{-1}}\n
b) \text{velocidade} = -\dfrac{d[\mathrm{C_3H_8}]}{dt} \approx 0,0001489\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}} (consumo de \mathrm{O_2}: 5 vezes esse valor \approx 0,0007444\\ \mathrm{mol\,L^{-1}s^{-1}})\n
c) t_{1/2} \approx 510\\ \mathrm{s}\n
d) k \approx 0,0001661\\ \mathrm{s^{-1}} (equivalente a \approx 0,598\\ \mathrm{h^{-1}})

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