1. 6-22. Um elétron está confinado em um poço quadrado finito cujas paredes têm 8,0 \mathrm{eV} de altura. Se a energia do estado fundamental é 0,5 \mathrm{eV}, estime a largura do poço.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma estimativa da largura do poço:
  • A altura das paredes do poço (profundidade do poço com respeito ao nível dentro) é \,V_0=8{,}0\\ \mathrm{eV}.
  • A energia do estado fundamental é \,E_1=0{,}5\\ \mathrm{eV}.
  • Pergunta: estimar a largura do poço (interpreto como a largura espacial L do poço unidimensional, medida em metros).
Esses são todos os dados. Vou estimar L usando a teoria do poço quadrado finito para um elétron.

Passo 2

Breve explicação da teoria que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • No poço quadrado finito unidimensional, com potencial V(x)=0 para |x|<L/2 (região interna) e V(x)=V_0 para |x|\ge L/2 (região externa), os estados ligados têm energia 0<E<V_0.
  • Define-se
k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \qquad\text{e}\qquad \kappa=\sqrt{\frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}},
onde:
  • \,m é a massa do elétron,
  • \,\hbar é a constante de Planck reduzida,
  • \,E é a energia do estado considerado.
  • As funções de onda contínuas e suas derivadas levam às condições de quantização. O estado fundamental tem paridade par (função par) e satisfaz a relação transcendental (caso par):
\kappa = k\tan\!\biggl(\frac{kL}{2}\biggr).
  • Observação prática útil: podemos escrever a razão \kappa/k sem \hbar nem m:
\frac{\kappa}{k}=\sqrt{\frac{V_0-E}{E}}.
Isso nos dá uma equação para o argumento \,z\equiv \dfrac{kL}{2}:
\tan z = \sqrt{\frac{V_0-E}{E}},
e, uma vez encontrado z, a largura L é
L = \frac{2z\hbar}{\sqrt{2mE}}.

Passo 3

Primeira estimativa rápida (aproximação do poço infinito) — por que fazer isso?
  • Se V_0 é muito maior que E_1, a solução para poço finito é parecida com a do poço infinito; usar o resultado do poço infinito dá uma estimativa inicial simples.
  • No poço infinito de largura L (paredes impenetráveis) o estado fundamental tem energia
E_{1}^{(\infty)}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}.
Invertendo para L
L_{\infty}=\frac{\pi\hbar}{\sqrt{2mE_1}}.
  • Vamos calcular L_{\infty} com as constantes:
    • massa do elétron \,m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
    • \hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},
    • converter energia para joules: 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}, então
    E_1 = 0{,}5\\ \mathrm{eV} = 0{,}5\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=8{,}01088317\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
  • Calcule primeiro o denominador \sqrt{2mE_1}:
2mE_1 = 2\times(9{,}10938356\times10^{-31})\times(8{,}01088317\times10^{-20}) \approx 1{,}4594854\times10^{-49}\\ \mathrm{kg^2\,m^2/s^2},
\sqrt{2mE_1}\approx 3{,}816\times10^{-25}\\ \mathrm{kg^{1/2}m\,s^{-1}}.
  • Agora o numerador \pi\hbar:
\pi\hbar \approx 3{,}14159265\times1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s} \approx 3{,}313\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Logo
L_{\infty}=\frac{\pi\hbar}{\sqrt{2mE_1}} \approx\frac{3{,}313\times10^{-34}}{3{,}816\times10^{-25}}\\ \mathrm{m} \approx8{,}68\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}868\\ \mathrm{nm}.
Comentários: essa é uma estimativa simples. Como \,V_0/E_1=8{,}0/0{,}5=16 não é gigantesco, devemos refinar usando a equação do poço finito para obter uma estimativa mais precisa.

Passo 4

Cálculo mais preciso usando a equação do poço finito (estado par, ground state).
  • Como visto, definimos z=\dfrac{kL}{2} e a equação reduz-se a
\tan z = \sqrt{\frac{V_0-E}{E}}.
  • Substituir os valores em eV (a razão é adimensional, pode ser feita em eV):
\sqrt{\frac{V_0-E}{E}}=\sqrt{\frac{8{,}0-0{,}5}{0{,}5}}=\sqrt{\frac{7{,}5}{0{,}5}}=\sqrt{15}\approx3{,}872983346.
  • Portanto
z=\arctan\bigl(\sqrt{15}\bigr).
Calcule z aproximadamente (em radianos). Usando a identidade \arctan x=\tfrac{\pi}{2}-\arctan(1/x) para maior precisão:
z \approx 1{,}317\\ \text{rad}.
  • Agora extrai-se L da definição de z:
L=\frac{2z\hbar}{\sqrt{2mE_1}}.
Já calculamos \sqrt{2mE_1} no Passo 3 (aprox 3{,}816\times10^{-25}). Substituindo:
2z\hbar \approx 2\times1{,}317\times1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s} \approx2{,}78\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
L\approx\frac{2{,}78\times10^{-34}}{3{,}816\times10^{-25}}\\ \mathrm{m} \approx7{,}28\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}728\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • Resultado pelo modelo do poço infinito: \,L_{\infty}\approx0{,}868\\ \mathrm{nm}.
  • Resultado mais preciso usando a condição do poço finito: \,L\approx0{,}728\\ \mathrm{nm}.
  • A diferença acontece porque no poço finito a função de onda vaza para fora, de modo que, para uma mesma energia, a largura necessária é menor que no caso infinito. Como V_0/E_1=16 a aproximação do poço infinito dá uma ordem de grandeza razoável, mas a equação exata do poço finito fornece a estimativa mais correta.
  • Conclusão prática: a largura do poço é da ordem de 10^{-9}\\ \mathrm{m} (sub-nanométrica), mais precisamente cerca de 0{,}73\\ \mathrm{nm}.

Resposta

L\approx7{,}3\times10^{-10}\\ \mathrm{m}

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