- 6-22. Um elétron está confinado em um poço quadrado finito cujas paredes têm
de altura. Se a energia do estado fundamental é
, estime a largura do poço.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma estimativa da largura do poço:
- A altura das paredes do poço (profundidade do poço com respeito ao nível dentro) é
. - A energia do estado fundamental é
. - Pergunta: estimar a largura do poço (interpreto como a largura espacial
do poço unidimensional, medida em metros).
Esses são todos os dados. Vou estimar
usando a teoria do poço quadrado finito para um elétron.
Passo 2
Breve explicação da teoria que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
- No poço quadrado finito unidimensional, com potencial
para (região interna) e para (região externa), os estados ligados têm energia . - Define-se
onde:
-
é a massa do elétron, -
é a constante de Planck reduzida, -
é a energia do estado considerado. - As funções de onda contínuas e suas derivadas levam às condições de quantização. O estado fundamental tem paridade par (função par) e satisfaz a relação transcendental (caso par):
- Observação prática útil: podemos escrever a razão
sem nem :
Isso nos dá uma equação para o argumento
:
e, uma vez encontrado
, a largura
é
Passo 3
Primeira estimativa rápida (aproximação do poço infinito) — por que fazer isso?
- Se
é muito maior que , a solução para poço finito é parecida com a do poço infinito; usar o resultado do poço infinito dá uma estimativa inicial simples. - No poço infinito de largura
(paredes impenetráveis) o estado fundamental tem energia
Invertendo para
dá
- Vamos calcular
com as constantes: - massa do elétron
, -
, - converter energia para joules:
, então
- massa do elétron
- Calcule primeiro o denominador
:
- Agora o numerador
:
- Logo
Comentários: essa é uma estimativa simples. Como
não é gigantesco, devemos refinar usando a equação do poço finito para obter uma estimativa mais precisa.
Passo 4
Cálculo mais preciso usando a equação do poço finito (estado par, ground state).
- Como visto, definimos
e a equação reduz-se a
- Substituir os valores em eV (a razão é adimensional, pode ser feita em eV):
- Portanto
Calcule
aproximadamente (em radianos). Usando a identidade
para maior precisão:
- Agora extrai-se
da definição de :
Já calculamos
no Passo 3 (aprox
). Substituindo:
Passo 5
Interpretação e verificação rápida:
- Resultado pelo modelo do poço infinito:
. - Resultado mais preciso usando a condição do poço finito:
. - A diferença acontece porque no poço finito a função de onda vaza para fora, de modo que, para uma mesma energia, a largura necessária é menor que no caso infinito. Como
a aproximação do poço infinito dá uma ordem de grandeza razoável, mas a equação exata do poço finito fornece a estimativa mais correta. - Conclusão prática: a largura do poço é da ordem de
(sub-nanométrica), mais precisamente cerca de .