No interior dos núcleos, a força atrativa entre os prótons e nêutrons se manifesta através da troca de píons. Para que isso aconteça sem que a lei de conservação da energia seja violada, o píon deve ser reabsorvido dentro de um intervalo de tempo compatível com o princípio de indeterminação de Heisenberg. Considere a reação de emissão p \rightarrow p+\pi, na qual m_{\pi}=135 \mathrm{MeV} / \mathrm{c}^{2}. (a) Ignorando a energia cinética, de quanto é a violação da conservação de energia nesta reação? (b) Dentro de que intervalo de tempo o píon deve ser reabsorvido para que a lei de conservação da energia não seja violada?

Passo 1

O enunciado dá a reação p \rightarrow p + \pi e informa a massa do píon \,m_{\pi}=135\\ \mathrm{MeV}/\mathrm{c}^{2}. As perguntas são:
  • (a) Ignorando energia cinética, qual é a violação da conservação de energia nessa reação?
  • (b) Em que intervalo de tempo o píon deve ser reabsorvido para que a conservação de energia não seja “efetivamente” violada, segundo o princípio da incerteza de Heisenberg?
Informações relevantes fornecidas:
  • Massa do píon: m_{\pi}=135\\ \mathrm{MeV}/\mathrm{c}^{2}.
  • Estamos ignorando energias cinéticas (ou seja, consideramos apenas as energias de repouso das partículas).
  • Deve ser usada a incerteza energia-tempo de Heisenberg para estimar o tempo máximo permitido para a “violação” de energia.

Passo 2

Entender o que significa “violar” a conservação de energia aqui: se um próton no repouso produz um próton mais um píon e ignoramos energia cinética, a energia inicial (apenas energia de repouso) é m_p c^2 e a energia final seria m_p c^2 + m_{\pi} c^2. Logo há um déficit de energia que precisa ser “emprestado” para criar o píon.
Matematicamente, a violação de energia (o valor que falta) é
\Delta E = m_{\pi} c^2.
Como a massa do píon foi dada em unidades de energia por c^2, podemos escrever diretamente
\Delta E = 135\\ \mathrm{MeV}.
Explicação didática curta: pela equivalência massa‑energia ( E=mc^2), criar uma partícula de massa m_{\pi} exige energia m_{\pi}c^2. Ignorando qualquer energia cinética disponível, esse valor é exatamente quanto a conservação de energia seria “violada” se o píon existisse por tempo não‑nulo.

Passo 3

Agora o princípio da incerteza energia‑tempo. A forma qualitativa que vamos usar é
\Delta E\,\Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2},
onde:
  • \Delta E é a incerteza (ou “emprestado”) de energia,
  • \Delta t é o intervalo de tempo durante o qual essa energia “pode” ser emprestada,
  • \hbar é a constante de Planck reduzida.
Para estimativas de ordem de grandeza costuma‑se usar a forma aproximada
\Delta t \approx \frac{\hbar}{\Delta E},
porque a diferença de um fator 2 não altera a escala do resultado e esse é o procedimento usual em física de partículas para obter o tempo máximo disponível para processos virtuais.

Passo 4

Vamos numericamente calcular \Delta t. Primeiro a constante \hbar em unidades convenientes:
\hbar \approx 6{,}582119569\times10^{-22}\\ \mathrm{MeV\cdot s}.
Usando \Delta t \approx \hbar/\Delta E e \Delta E=135\\ \mathrm{MeV}, obtemos
\Delta t \approx \frac{6{,}582\times10^{-22}}{135} \\ \mathrm{s} = 4{,}87\times10^{-24}\\ \mathrm{s}.
Se alguém preferir usar a desigualdade com o fator 1/2, teria \Delta t \gtrsim \hbar/(2\Delta E), o que daria aproximadamente
\Delta t \gtrsim 2{,}44\times10^{-24}\\ \mathrm{s},
mas, como dito, para a ordem de grandeza o resultado padrão \sim 5\times10^{-24}\\ \mathrm{s} é o que se usa.

Passo 5

Interpretação física extra (útil na prova): em \Delta t a partícula virtual não pode viajar muito longe. A distância característica é c\,\Delta t. Tomando c\approx 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
c\,\Delta t \approx 3{,}0\times10^{8}\cdot4{,}87\times10^{-24}\\ \mathrm{m} \approx 1{,}46\times10^{-15}\\ \mathrm{m} = 1{,}46\\ \mathrm{fm}.
Isso mostra por que a força nuclear (mediada por píons virtuais) tem alcance da ordem de 1\\ \mathrm{fm}: o píon virtual só pode “existir” por tempo/alcance muito pequenos.

Resposta

(a) \Delta E = 135\\ \mathrm{MeV}\n
(b) \Delta t \approx 4{,}9\times10^{-24}\\ \mathrm{s}

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