A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação
\Delta p=(1,5 \mathrm{~Pa}) \operatorname{sen} \pi\left[\left(1,00 \mathrm{~m}^{-1}\right) x-\left(330 \mathrm{~s}^{-1}\right) t\right]
Encontre (d) a velocidade da onda

Passo 1

O enunciado dá a pressão de uma onda sonora progressiva:
\Delta p=(1,5\\ \mathrm{Pa})\operatorname{sen} \pi\bigl[(1,00\\ \mathrm{m}^{-1})\,x-(330\\ \mathrm{s}^{-1})\,t\bigr].
O que nos pedem: (d) encontrar a velocidade da onda.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\text{amplitude }A=1,5\\ \mathrm{Pa};
o argumento do seno é \pi\bigl[(1,00\\ \mathrm{m}^{-1})x-(330\\ \mathrm{s}^{-1})t\bigr].
Não resolvemos nada ainda — apenas listamos o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Entendendo a forma padrão de uma onda senoidal progressiva (explicação didática):
Uma onda plana progressiva unidimensional pode ser escrita na forma
\Delta p = A \operatorname{sen}(kx-\omega t),
onde:
  • A é a amplitude da onda (unidade: Pascal, no caso de pressão);
  • k é o número de onda (ou wave number), com unidade \mathrm{m}^{-1}. Ele está relacionado ao comprimento de onda \lambda por
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
  • \omega é a frequência angular, com unidade \mathrm{s}^{-1}. Ela está relacionada à frequência f por
\omega=2\pi f.
Explicação física do que significa velocidade da onda:
A velocidade de propagação v é a rapidez com que uma fase fixa da onda (por exemplo, um máximo) se desloca. A relação entre \omega, k e v é
v=\frac{\omega}{k}.
Motivo rápido: se a fase \varphi=kx-\omega t é constante, derivando em relação ao tempo obtemos k\frac{dx}{dt}-\omega=0, logo \frac{dx}{dt}=\omega/k, que é a velocidade de deslocamento da fase.

Passo 3

Aplicando a identificação da forma padrão à equação dada:
O argumento do seno no enunciado é
\pi\bigl[(1,00\\ \mathrm{m}^{-1})x-(330\\ \mathrm{s}^{-1})t\bigr].
Podemos distribuir o \pi para ver claramente os coeficientes de x e t:
\pi(1,00\\ \mathrm{m}^{-1})\,x - \pi(330\\ \mathrm{s}^{-1})\,t.
Comparando com kx-\omega t, identificamos:
k=\pi(1,00\\ \mathrm{m}^{-1})=\pi\\ \mathrm{m}^{-1},
\omega=\pi(330\\ \mathrm{s}^{-1})=330\pi\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Calcular a velocidade usando v=\dfrac{\omega}{k}:
Escrevendo a relação e substituindo os valores:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{330\pi\\ \mathrm{s}^{-1}}{\pi\\ \mathrm{m}^{-1}}.
As parcelas \pi se cancelam, deixando
v=330\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Verificação alternativa (útil na prova): calcular f e \lambda e usar v=f\lambda.
Calcule a frequência f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{330\pi}{2\pi}=165\\ \mathrm{Hz}.
Calcule o comprimento de onda \lambda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\pi}=2\\ \mathrm{m}.
Agora v=f\lambda=165\\ \mathrm{Hz}\times 2\\ \mathrm{m}=330\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}, mesmo resultado — boa checagem para a prova.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova:
A velocidade da onda deu 330\\ \mathrm{m/s}. Observe que esse valor é razoável para som no ar (ordem de 10^2\\ \mathrm{m/s}). Em prova, se você vir uma expressão do tipo \operatorname{sen}[\alpha(x)-\beta t] e os coeficientes aparecerem multiplicados por uma constante comum (aqui \pi), sempre procure primeiro expandir para identificar claramente k e \omega, e então use v=\omega/k — é rápido e seguro.

Resposta

330\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}

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