Suponha que novas observações revelaram um erro na lei de Coulomb. A força de interação entre partículas pontuais é de fato
em que
é uma nova constante da natureza (com dimensão de comprimento, sendo um número muito grande, tal que essa correção é pequena, justificando o fato da diferença não ter sido observada anteriormente).
a) Determine o campo elétrico gerado pela carga
(
pts).
b) Este campo elétrico admite um potencial escalar? Verifique se a relação
é válida para justificar a sua resposta (
pts).
c) Mostre que o potencial elétrico gerado pela carga
é dado por (
pts)
d) Para a carga
na origem, use os resultados dos itens anteriores e mostre que (i.e. calcule explicitamente o lado esquerdo da relação)
em que
é a superfície e
o volume de uma esfera centrada em
(
pts).
a) Determine o campo elétrico gerado pela carga
b) Este campo elétrico admite um potencial escalar? Verifique se a relação
c) Mostre que o potencial elétrico gerado pela carga
Passo 1
O enunciado dá a força entre partículas puntuais na forma
onde
é uma constante de comprimento muito grande. Pede-se:
- (a) o campo elétrico
gerado pela carga ; - (b) verificar se o campo admite um potencial escalar, isto é, checar se
(para justificar a existência do potencial); - (c) mostrar que o potencial elétrico é
; - (d) usando uma esfera de raio
centrada em , mostrar que
Informações úteis fornecidas:
,
,
; fórmula do rotacional em coordenadas esféricas; elementos
e
; integrais auxiliares.
Passo 2
(a) Obter
diretamente de
.
- Conceito usado: a força elétrica sobre uma carga de prova
é . Então o campo elétrico é a força por unidade de carga de prova. - Aplicando a definição: dividir a expressão de
por .
- Observação didática: esse campo é radial (aponta em
) e depende apenas de . Isso já sugere simetria esférica — muito útil para integrais de fluxo e para testar se é gradiente de um escalar.
Passo 3
(b) Verificar
. Explicar por que isso garante (ou não) existência de potencial.
-
Conceitos: Um campo vetorial
que é gradiente de um escalar (ou seja, ) é um campo conservativo; em uma região simplesmente conexa isso é equivalente a . Aqui devemos checar para (afinal, no ponto existe a carga pontual e singularidades podem ocorrer). -
Uso da fórmula do rotacional em coordenadas esféricas (o enunciado deu a fórmula). Para um campo puramente radial temos:
, , (a notação do enunciado coloca componente radial, componente , componente ). -
Componentes do rotacional (usando a fórmula dada):Mas
e , logo . Aquie depende só de , então . Assim . Aquie independe de , então . -
Conclusão: para todo
(fora da origem) . Portanto, na região o campo é conservativo e admite um potencial escalar . Observação importante: no ponto há singularidade (carga pontual); a identidade não pode ser simplesmente aplicada no ponto singular — por isso afirmamos a existência do potencial para . Na prática física, definimos por integração radial a partir do infinito, como no item (c).
Passo 4
(c) Mostrar
usando
.
-
Primeiro, escrevemos
com uma constante auxiliar: -
Reescrever o integrando de forma conveniente:
-
Então
-
Defina
para simplificar. O integrando fica . Use a identidade fornecida: Assim,(os termos comcancelam). -
Portanto o integral definido é(o termo no infinito tende a zero porque
quando ). -
Substituindo
obtemos que é exatamente o que queríamos mostrar. -
Observação física: esse potencial é a forma típica do potencial de Yukawa (um Coulomb modificado por um fator exponencial) e está bem definido para
; tende a 0 quando (condição de referência imposta na integral).
Passo 5
(d) Calcular explicitamente
para uma esfera de raio
centrada em
, e mostrar que o resultado é
.
-
Primeiro termo: fluxo de
pela esfera de raio . - Como
e a normal na superfície esférica, temos - Substituindo
com ,
- Como
-
Segundo termo:
sobre a esfera de raio . - Usar
e . - A integral angular dá
. Assim - Use a integral dada
. Aqui e . Então (avaliando em o termo dá , com o sinal muda para +). - Então
- Multiplicando por
,
- Usar
-
Somando os dois termos:Os termos com
se cancelam, sobrando -
Isso é exatamente o resultado pedido.
Resposta
(a)
(b) Sim; para
, portanto o campo é conservativo e admite potencial escalar (a singularidade na origem exige cuidado, por isso afirmamos para
).
(c)
(d)
(b) Sim; para
(c)
(d)