Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- A expressão é uma função racional, numerador
e denominador . - Queremos o valor do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Teste de substituição direta (primeira tentativa que sempre fazemos): substituir
em numerador e denominador.
Como obtemos
, temos uma forma indeterminada. Isso indica que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição — precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 3
Estratégia escolhida (método): fatorar o denominador usando a identidade do produto notável “diferença de cubos”, porque
é
e o numerador contém o fator
. Essa é a técnica algébrica mais direta e básica para esse tipo de limite.
Passo 4
Lembrete da identidade de diferença de cubos e explicação didática:
A fórmula para diferença de cubos é
A fórmula para diferença de cubos é
Aqui,
e
são números ou expressões quaisquer. Aplicando com
e
obtemos:
Essa identidade vem da multiplicação:
. Ou seja, o termo
aparece fatorado no denominador — exatamente o mesmo fator do numerador.
Passo 5
Fatorando o denominador e simplificando a fração (válido para
):
Como estamos tratando de limite e não do valor exatamente em
, para
podemos cancelar o fator comum
:
Após essa simplificação, a função equivalente para
próximos de
(mas não igual a
) é
, que é contínua perto de
.
Passo 6
Agora que temos a expressão simplificada e contínua em
, podemos avaliar o limite por substituição na forma simplificada:
Calcule passo a passo o denominador:
Portanto o valor é
.
Passo 7
Breve justificativa final e comentário amigo: a forma indeterminada
nos disse para simplificar. Fatorando e cancelando o fator comum eliminamos a indeterminação e chegamos a uma função contínua em
, o que permite avaliar o limite por substituição direta. Se preferir, dá para checar com a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador e avaliando) e obter o mesmo resultado — mas a fatoração é mais simples aqui.