22 \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^{3}-8}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 2:
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{x^{3}-8}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional, numerador x-2 e denominador x^{3}-8.
  • Queremos o valor do limite quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Teste de substituição direta (primeira tentativa que sempre fazemos): substituir x=2 em numerador e denominador.
\text{Numerador} = 2-2 = 0, \qquad \text{Denominador} = 2^{3}-8 = 8-8 = 0.
Como obtemos \dfrac{0}{0}, temos uma forma indeterminada. Isso indica que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição — precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Estratégia escolhida (método): fatorar o denominador usando a identidade do produto notável “diferença de cubos”, porque x^{3}-8 é x^{3}-2^{3} e o numerador contém o fator x-2. Essa é a técnica algébrica mais direta e básica para esse tipo de limite.

Passo 4

Lembrete da identidade de diferença de cubos e explicação didática:
A fórmula para diferença de cubos é
a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right).
Aqui, a e b são números ou expressões quaisquer. Aplicando com a=x e b=2 obtemos:
x^{3}-2^{3}=(x-2)\left(x^{2}+2x+4\right).
Essa identidade vem da multiplicação: (x-2)(x^{2}+2x+4)=x^{3}+2x^{2}+4x-2x^{2}-4x-8=x^{3}-8. Ou seja, o termo (x-2) aparece fatorado no denominador — exatamente o mesmo fator do numerador.

Passo 5

Fatorando o denominador e simplificando a fração (válido para x\neq 2):
\frac{x-2}{x^{3}-8}=\frac{x-2}{(x-2)\left(x^{2}+2x+4\right)}.
Como estamos tratando de limite e não do valor exatamente em x=2, para x\neq 2 podemos cancelar o fator comum (x-2):
\frac{x-2}{(x-2)\left(x^{2}+2x+4\right)}=\frac{1}{x^{2}+2x+4}\qquad (x\neq 2).
Após essa simplificação, a função equivalente para x próximos de 2 (mas não igual a 2) é \dfrac{1}{x^{2}+2x+4}, que é contínua perto de x=2.

Passo 6

Agora que temos a expressão simplificada e contínua em x=2, podemos avaliar o limite por substituição na forma simplificada:
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-2}{x^{3}-8} = \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x^{2}+2x+4} = \frac{1}{2^{2}+2\cdot 2+4}.
Calcule passo a passo o denominador:
2^{2}=4,\qquad 2\cdot 2=4,\qquad 4+4+4=12.
Portanto o valor é \dfrac{1}{12}.

Passo 7

Breve justificativa final e comentário amigo: a forma indeterminada \dfrac{0}{0} nos disse para simplificar. Fatorando e cancelando o fator comum eliminamos a indeterminação e chegamos a uma função contínua em 2, o que permite avaliar o limite por substituição direta. Se preferir, dá para checar com a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador e avaliando) e obter o mesmo resultado — mas a fatoração é mais simples aqui.

Resposta

\dfrac{1}{12}

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