24 \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}+2 x-3}{x^{2}+5 x+6}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a -2 da expressão
24\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}+5x+6}.
Informações relevantes que o enunciado dá (e que podemos calcular já para entender a situação):
  • A função é uma razão de polinômios (uma função racional).
  • Avaliando direto em x=-2: x^{2}+2x-3\Big|_{x=-2} = (-2)^{2}+2(-2)-3 = 4-4-3 = -3,
x^{2}+5x+6\Big|_{x=-2} = (-2)^{2}+5(-2)+6 = 4-10+6 = 0.
  • Logo, a forma ao substituir diretamente é \dfrac{-3}{0}: denominador zero, numerador não zero — isso indica possível divergência (infinito) ou ausência de limite finito. A resolução continuará com análise algébrica e de sinais.

Passo 2

Estratégia a seguir (sem resolver ainda): para limites de funções racionais é comum fatorar numerador e denominador e simplificar fatores comuns; isso pode remover descontinuidades “removíveis” e facilitar o estudo do que acontece no ponto. Se após simplificar ainda restar divisão por zero no ponto, então é preciso analisar o comportamento lateral (sinais) para ver se o valor tende a +\infty, -\infty ou se os lados divergem de modo diferente.

Passo 3

Fatorar numerador e denominador explicando passo a passo.
  • Para fatorar x^{2}+2x-3 procuramos dois números cujo produto seja -3 e soma seja 2. Esses números são 3 e -1. Então x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).Aqui a explicação: expandindo (x+3)(x-1) obtemos x^{2}-x+3x-3=x^{2}+2x-3.
  • Para fatorar x^{2}+5x+6 procuramos dois números com produto 6 e soma 5, que são 2 e 3. Logo x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).Expandindo (x+2)(x+3) temos x^{2}+3x+2x+6=x^{2}+5x+6.

Passo 4

Substituir as fatorações na expressão e cancelar fator comum.
24\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}+5x+6} =24\frac{(x+3)(x-1)}{(x+2)(x+3)}.
Como (x+3) aparece no numerador e no denominador e é diferente de zero para x perto de -2 (em particular x\neq-3 aqui), podemos cancelar esse fator para simplificar a função em torno de x=-2:
24\frac{(x+3)(x-1)}{(x+2)(x+3)}=24\frac{x-1}{x+2},\qquad \text{para }x\neq-3.
Observação didática: o cancelamento de (x+3) remove uma possível descontinuidade em x=-3, mas o ponto problématico que estamos estudando é x=-2, então ainda precisamos analisar o que ocorre quando x\to-2.

Passo 5

Analisar o limite da forma simplificada e o comportamento lateral.
Agora estudamos
\lim_{x\to-2}24\frac{x-1}{x+2}.
Note que no numerador, x-1 é contínuo e em x=-2 vale
x-1\Big|_{x=-2} = -2-1 = -3,
ou seja, o numerador tende para -3 (valor fixo e negativo). O problema vem do denominador x+2, que tende para 0 quando x\to-2. Então a razão tem forma constante-não-zero sobre algo que vai a zero — isso geralmente gera divergência para infinito com sinal determinado pelo sinal do denominador.
Estudo dos sinais (limites laterais):
  • Quando x\to-2^{-} (pela esquerda), x+2 é um número negativo muito pequeno. O numerador é -3 (negativo). Assim \dfrac{x-1}{x+2} perto de -2 pela esquerda é \dfrac{\text{negativo}}{\text{negativo pequeno}}=\text{positivo grande}. Multiplicando por 24>0 fica +\infty. Logo \lim_{x\to-2^{-}}24\frac{x-1}{x+2}=+\infty.
  • Quando x\to-2^{+} (pela direita), x+2 é um número positivo muito pequeno. Numerador ainda -3 (negativo). Assim \dfrac{x-1}{x+2} é \dfrac{\text{negativo}}{\text{positivo pequeno}}=\text{negativo grande em módulo}ó, ou seja -\infty. Multiplicando por 24 continua -\infty. Logo \lim_{x\to-2^{+}}24\frac{x-1}{x+2}=-\infty.
Como as duas mono-laterais são diferentes ( +\infty e -\infty), o limite bilateral \lim_{x\to-2} não existe (não tende a um número finito nem a um único infinito).

Passo 6

Resumo do raciocínio final (curtinho e motivador): após fatorar e simplificar vimos que perto de -2 a expressão se comporta como 24\frac{x-1}{x+2}. O numerador é negativo constante e o denominador troca de sinal ao atravessar -2, produzindo sinais opostos nas duas pontas: +\infty vindo da esquerda e -\infty vindo da direita. Portanto o limite bilateral não existe.

Resposta

\lim_{x\to-2}24\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}+5x+6} não existe.
\lim_{x\to-2^{-}}24\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}+5x+6}=+\infty
\lim_{x\to-2^{+}}24\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}+5x+6}=-\infty

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