Esboce o gráfico da função f definida por partes e, para o valor a indicado, determine cada limite, se existir.
(a) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
(b) \lim _{x \rightarrow d^{+}} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{9}{x^{2}} & \text { se } x \leq-3 \\\ 4+x & \text { se } x>-3\end{array} \quad a=-3\right.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} \dfrac{9}{x^{2}} & \text{se } x\le -3,\\[6pt] 4+x & \text{se } x>-3, \end{cases}
e indica a=-3. As perguntas são:
(a) calcular \lim_{x\to a^{-}} f(x),
(b) calcular \lim_{x\to d^{+}} f(x) — aqui há uma letra d que não foi definida no enunciado; vou assumir que isso é um pequeno erro de digitação e que a intenção era pedir \lim_{x\to a^{+}} f(x), ou seja a limite pela direita em a, and
(c) calcular \lim_{x\to a} f(x) (o limite bilateral em a).
Informações relevantes dadas: a expressão de f para cada ramo (racional para x\le-3 e linear para x>-3) e que a=-3.]

Passo 2

Entender o que cada ramo faz perto de x=-3 (isso é essencial para esboçar o gráfico e para os limites). Vou explicar de forma bem direta e concreta.
  • Para x\le -3 temos f(x)=\dfrac{9}{x^{2}}. Essa é uma função racional simples. Para qualquer ponto c\neq0 a função x\mapsto \dfrac{9}{x^{2}} é contínua, isto é, ao nos aproximarmos de c o valor de f(x) se aproxima de f\text{(c)}. Em particular, em x=-3 a expressão está bem definida e
f(-3)=\frac{9}{(-3)^{2}}=\frac{9}{9}=1.
Então o ramo da esquerda atinge o ponto (-3,1) e, porque a condição é x\le-3, esse ponto pertence ao gráfico (ponto cheio/fechado).
  • Para x>-3 temos f(x)=4+x. Essa é uma função linear (polinômio), e polinômios são contínuos em toda parte. O valor que a reta teria em x=-3 é
4+(-3)=1.
Porém a definição do ramo é x>-3, ou seja, a reta não inclui o ponto x=-3; no esboço isso aparece como um círculo aberto em (-3,1).
Resumo visual para esboçar: à esquerda de -3 desenhar a curva positiva \dfrac{9}{x^{2}} (que em x=-3 tem valor 1 e tende a 0 quando x\to-\infty); à direita de -3 desenhar a reta y=4+x começando imediatamente à direita de -3 com um círculo aberto em (-3,1).

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to a^{-}} f(x) com a=-3.
Definição prática usada: se a função em um bairro à esquerda de a é dada por uma expressão contínua, basta substituir x=a nessa expressão para obter o limite lateral. Aqui, para x<a (mais precisamente para x\le-3) usamos f(x)=\dfrac{9}{x^{2}}, que é contínua em x=-3 porque o denominador não é zero. Logo
\lim_{x\to (-3)^{-}} f(x) = \lim_{x\to -3} \frac{9}{x^{2}} = \frac{9}{(-3)^{2}} = \frac{9}{9} =1.
Interpretação simples: aproximando x de -3 vindo da esquerda, os valores de \dfrac{9}{x^{2}} se aproximam de 1.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to a^{+}} f(x) (assumindo que a letra d do enunciado era um erro e que queriam a).
Pelo ramo da direita, para x>-3 vale f(x)=4+x. Como 4+x é uma função contínua, o limite quando x\to-3 pela direita é simplesmente o valor da expressão em -3 (mesmo que o ponto não esteja incluído no domínio do ramo):
\lim_{x\to (-3)^{+}} f(x) = \lim_{x\to -3} (4+x) = 4+(-3) =1.
Interpretação: aproximando x de -3 vindo da direita ao longo da reta 4+x, os valores se aproximam de 1.

Passo 5

Determinar o limite bilateral \lim_{x\to a} f(x) e comentar continuidade.
Regra: o limite \lim_{x\to a} f(x) existe se e somente se os dois limites laterais existem e são iguais. Nós já encontramos
\lim_{x\to (-3)^{-}} f(x)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to (-3)^{+}} f(x)=1.
Como os dois laterais coincidem em 1, o limite bilateral existe e é 1:
\lim_{x\to -3} f(x)=1.
Além disso, o valor da função no ponto é f(-3)=1 (porque a definição para x\le-3 inclui -3). Como o limite e o valor da função coincidem, f é contínua em x=-3.

Passo 6

Instruções rápidas para esboçar o gráfico (passo a passo que você pode seguir na prova, sem calcular muito):
  1. Desenhe a curva y=\dfrac{9}{x^{2}} apenas para x\le-3. Em -3 marque um ponto fechado em (-3,1). À esquerda o gráfico decresce em direção a 0 quando x\to-\infty.
  2. Desenhe a reta y=4+x apenas para x>-3. Em x=-3 deixe um círculo aberto em (-3,1). A reta sobe com inclinação 1; por exemplo em x=0 tem y=4.
  3. Confirme visualmente que os dois ramos se aproximam do mesmo y quando x se aproxima de -3; isso mostra que o limite existe e vale 1.

Resposta

(a) \displaystyle 1
(b) \displaystyle 1
(c) \displaystyle 1

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