9.22 Mostre, por meio de um contractemplo, que u times v=u times w (u não nulo) não necessariamente implica que v=w (em outras palavms, no produto vetorial nào vale a regm do cancelamento).

Passo 1

O enunciado pede um contraexemplo para mostrar que, mesmo com uneq0, a igualdade
utimesv = utimesw
não implica necessariamente v=w. Vamos usar propriedades do produto vetorial para construir esse contraexemplo.

Passo 2

Escolhemos
u = (0,0,1),
v = (1,0,0)
e, para algum escalar alphaneq 0, definimos
w = v + alpha,u = (1,0,alpha).
Note que claramente vneqw quando alphaneq 0.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial utimesv:
utimesv =(0,0,1)times(1,0,0) =l(0cdot0-1cdot0,;1cdot1-0cdot0,;0cdot0-0cdot1r) =(0,1,0)
Em seguida,
utimesw =(0,0,1)times(1,0,alpha) =l(0cdotalpha-1cdot0,;1cdot1-0cdotalpha,;0cdot0-0cdot1r) =(0,1,0)
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utimesv = (0,1,0) = utimesw

Passo 4

Apesar de termos encontrado
utimesv = utimesw,
ficou claro que v = (1,0,0)neq(1,0,alpha)=w.
Isso mostra que não vale a lei de cancelamento no produto vetorial.

Resposta

Um contraexemplo é
u=(0,0,1), v=(1,0,0) e w=(1,0,alpha) com alphaneq0,
pois utimesv=utimesw mas vneqw.

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