Usando as propricdades do produto escalar e da álgebra vetorial, verifique as identidades.
u cdot v=14|u+v|^2-14|u-v|^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer vetores u e v em um espaço com produto escalar, vale
ucdot v =14l|u+vr|^2 -14l|u-vr|^2
Vamos usar a bilinearidade e a simetria do produto escalar, além da definição de norma via produto escalar.

Passo 2

Calculemos l|u+vr|^2 escrevendo-o como produto escalar:
l|u+vr|^2 =(u+v)cdot(u+v) =ucdotu +2,ucdotv +vcdotv

Passo 3

De modo análogo, expandimos l|u-vr|^2:
l|u-vr|^2 =(u-v)cdot(u-v) =ucdotu -2,ucdotv +vcdotv

Passo 4

Agora subtraímos as duas expressões:
l|u+vr|^2 -l|u-vr|^2 =l(ucdotu+2,ucdotv+vcdotvr) -l(ucdotu-2,ucdotv+vcdotvr) =4,ucdotv

Passo 5

Bastou reorganizar para isolar ucdotv:
ucdotv =14l(l|u+vr|^2 -l|u-vr|^2r)

Resposta

A identidade está verificada:
ucdot v =14l|u+vr|^2 -14l|u-vr|^2

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