6.24E (Çengel) Um jato de água horizontal atinge uma placa vertical com velocidade de 25 \mathrm{ft} / \mathrm{s} e se espalha no plano vertical. Se uma força horizontal de 350 lbf é necessária para manter a placa estacionária contra o jato, determine a vazão volumétrica de água.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a vazão volumétrica:
  • Velocidade do jato: \,V=25\\ \text{ft/s}.
  • Força horizontal necessária para manter a placa estacionária: \,F=350\\ \text{lbf}.
  • O jato de água incide horizontalmente sobre uma placa vertical e se espalha no plano vertical (isto é, após o choque o escoamento sai verticalmente, sem componente horizontal).
    A pergunta: determinar a vazão volumétrica \,Q (em \text{ft}^3/\text{s}) da água.

Passo 2

Entendendo a física (princípio que vamos usar) — Teorema do impulso (conservação da quantidade de movimento):
  • Para um volume de controle que envolve o jato e a placa, a força resultante na direção horizontal (a força que a placa precisa aplicar para manter-se fixa) é igual à taxa de variação da quantidade de movimento do fluido na direção horizontal:
F = \dot{m}\,\Delta V_x.
  • Aqui \,F é a força requerida (em \text{lbf}), \dot{m} é a vazão mássica (em \text{slugs/s} se usarmos slugs como unidade de massa) e \Delta V_x é a variação da componente horizontal da velocidade entre entrada e saída.
  • No problema, a velocidade inicial tem componente horizontal \,V (positivo para o jato vindo) e, depois do choque, o escoamento espalha-se verticalmente sem componente horizontal. Logo a componente horizontal na saída é zero. Assim:
\Delta V_x = 0 - V = -V,
e o módulo da força é
F = \dot{m}\,V.
(A direção do sinal só indica sentido; para achar a magnitude usamos F=\dot{m}V.)

Passo 3

Relacione vazão mássica \dot{m} com vazão volumétrica \,Q:
  • A vazão mássica é \dot{m}=\rho\,Q, onde \rho é a massa específica (densidade) do fluido em \text{slugs/ft}^3 e Q é a vazão volumétrica em \text{ft}^3/\text{s}.
  • Substituindo em F=\dot{m}V obtemos:
F = (\rho Q) V \quad\Rightarrow\quad Q = \frac{F}{\rho\,V}.

Passo 4

Determinar a densidade da água em \text{slugs/ft}^3:
  • Normalmente usa-se o peso específico \gamma da água \,\gamma=62{,}4\\ \text{lbf/ft}^3.
  • A relação entre \gamma e \rho é \rho=\dfrac{\gamma}{g}, onde g é a aceleração da gravidade em \text{ft/s}^2.
  • Usando g=32{,}2\\ \text{ft/s}^2 (valor usual em problemas de engenharia):
\rho=\frac{62{,}4}{32{,}2} \\ \text{slugs/ft}^3.
Calcule numericamente:
\rho=\frac{62{,}4}{32{,}2}=1{,}9379\\ \text{slugs/ft}^3\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Agora usamos a fórmula para Q:
Q=\frac{F}{\rho\,V}.
Substituindo os valores ( F=350\\ \text{lbf}, \rho=1{,}9379\\ \text{slugs/ft}^3, V=25\\ \text{ft/s}):
Q=\frac{350}{1{,}9379\times25}.
Calcule o denominador primeiro:
1{,}9379\times25=48{,}4475.
Agora a divisão:
Q=\frac{350}{48{,}4475}=7{,}2249\\ \text{ft}^3/\text{s}\quad(\text{aprox.}).

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (senso físico):
  • A vazão obtida é cerca de \,7{,}22\\ \text{ft}^3/\text{s}. Em termos práticos, como referência rápida, 1\\ \text{ft}^3/\text{s}\approx448{,}83\\ \text{gpm}, então isso corresponde a aproximadamente 7{,}225\times448{,}83\approx3{,}244\\ \text{gpm}. (Apenas para intuição; o resultado principal pedido é em \text{ft}^3/\text{s}.)
  • Tudo faz sentido: uma força grande exige uma vazão grande a essa velocidade.

Resposta

Q \approx 7{,}22\\ \text{ft}^3/\text{s}

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