1.22 Uma placa metálica delgada está isolada em sua superfície posterior e exposta ao sol na superfície anterior. A superfície anterior absorve a radiação solar de 900 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} e a dissipa, principalmente por convecção, para o ar ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}. Se o coeficiente de transferência de calor entre a placa e o ar for de 15 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), qual será a temperatura da placa?
Resposta: 85^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A superfície anterior absorve radiação solar com fluxo de 900\\ \mathrm{W/m^{2}}.
    • A superfície posterior está isolada (ou seja, não há troca de calor por essa face).
    • A temperatura do ar ambiente é 25^{\circ}\mathrm{C}.
    • O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a placa e o ar é h=15\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot ^\circ C)}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a temperatura da placa (ou seja, a temperatura da superfície exposta ao sol) em regime estacionário.

Passo 2

Entendimento físico e balanço de energia (ideia principal).
  • Em regime estacionário (temperatura da placa constante no tempo) a energia que entra na placa deve ser igual à energia que sai.
  • A placa recebe energia por radiação solar na face exposta: isso é um fluxo de potência por unidade de área, que chamarei de q_{\text{in}}.
  • A face posterior está isolada, então não há perda de calor por aí.
  • A principal via de perda de calor é por convecção para o ar ambiente. O fluxo convectivo por unidade de área chamarei de q_{\text{conv}}.
  • Em regime estacionário vale o balanço por unidade de área:
q_{\text{in}} = q_{\text{conv}}.

Passo 3

Fórmula da convecção e significado das variáveis.
  • A lei de convecção convémada por Newton diz que o fluxo de calor por unidade de área devido à convecção é proporcional à diferença de temperatura entre a superfície e o fluido:
q_{\text{conv}} = h\,(T_{\text{placa}} - T_{\infty}).
  • Aqui:
    • q_{\text{conv}} é o fluxo de calor convectivo (em \mathrm{W/m^{2}});
    • h é o coeficiente de convecção ( \mathrm{W/(m^{2}\cdot ^\circ C)});
    • T_{\text{placa}} é a temperatura da placa (em {}^\circ\mathrm{C});
    • T_{\infty} é a temperatura do ar ambiente (em {}^\circ\mathrm{C}).
  • Observação sobre sinais: se T_{\text{placa}}>T_{\infty} então q_{\text{conv}}>0, ou seja, calor sai da placa para o ar, que é o caso esperado aqui.

Passo 4

Aplicar o balanço de energia e isolar T_{\text{placa}}.
  • Igualando entrada e saída:
q_{\text{in}} = h\,(T_{\text{placa}} - T_{\infty}).
  • Isolando T_{\text{placa}}:
T_{\text{placa}} = T_{\infty} + \frac{q_{\text{in}}}{h}.
  • Explicando cada passo: começou-se do balanço (energia entrando = energia saindo), substituiu-se a expressão de convecção e resolveu-se uma equação linear para a incógnita T_{\text{placa}}. Isso é padrão em problemas de transferência de calor em regime estacionário.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular cuidadosamente com unidades.
  • Valores: q_{\text{in}}=900\\ \mathrm{W/m^{2}}, h=15\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot ^\circ C)}, T_{\infty}=25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Calcular \dfrac{q_{\text{in}}}{h}:
\frac{q_{\text{in}}}{h}=\frac{900\\ \mathrm{W/m^{2}}}{15\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot ^\circ C)}}=60\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Nota sobre unidades: as unidades de \mathrm{W/m^{2}} cancelam e sobra {}^\circ\mathrm{C}, mostrando que a razão dá uma diferença de temperatura.
  • Agora:
T_{\text{placa}} = 25^{\circ}\mathrm{C} + 60^{\circ}\mathrm{C} = 85^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Comentário final, verificação e dica para a prova.
  • Resultado faz sentido fisicamente: com forte insolação ( 900\\ \mathrm{W/m^{2}}) e convecção moderada ( h=15), a placa aquece bastante acima do ambiente.
  • Pressupostos feitos (coisas que valem checar em questões mais difíceis):
    • Regime estacionário;
    • Toda a energia absorvida sai por convecção (a face posterior é isolada e a radiação de corpo negro foi negligenciada aqui porque o enunciado diz que dissipa principalmente por convecção — em provas pode aparecer a perda por radiação também, aí haveria termo adicional \varepsilon\sigma(T^4-T_\infty^4));
    • h é constante e conhecido (não dependente da temperatura).
  • Dica de prova: sempre comece escrevendo o balanço de energia por unidade de área quando lida com fluxos de calor superficiais, escreva as unidades e cancele para verificar consistência.

Resposta

85^{\circ}\mathrm{C}

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