1.9 A taxa de fluxo de calor através de uma tábua de madeira com 4 cm de espessura é de
, quando há uma diferença de
entre as superfícies interna e externa. Qual é a condutividade térmica da madeira?
Resposta:
.
Passo 1
O enunciado dá uma tábua de madeira com espessura e informa a taxa de fluxo de calor através dela; pede para encontrar a condutividade térmica. Dados fornecidos:
- taxa de fluxo de calor (fluxo por unidade de área):
; - diferença de temperatura entre as superfícies:
; - espessura da tábua:
.
O que se pede:
- determinar a condutividade térmica
da madeira, em unidades de .
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Em condução de calor unidimensional e em estado estacionário, com condutividade térmica
constante, a lei de Fourier para fluxo de calor por unidade de área diz:
- Aqui
é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: ), é a condutividade térmica (unidade: ), é a temperatura e a coordenada através da espessura. - Quando a variação de temperatura é linear através da espessura
(caso simples de duas superfícies com temperatura fixa), a derivada pode ser substituída por diferença finita:
(positivamente orientado do lado mais quente para o mais frio; aqui usamos o módulo do fluxo e da diferença de temperatura).
- Explicando em palavras: o fluxo por unidade de área é proporcional à diferença de temperatura entre as faces e inversamente proporcional à espessura — se a tábua for mais grossa, menos calor passa por unidade de área.
Passo 3
Converter a espessura para o sistema SI (metros), porque as unidades de
estão em
.
- A espessura é
. Como , temos
Passo 4
Isolar
na relação e substituir os valores.
- Da fórmula
isolamos
:
- Substituindo
, e :
- Fazer a multiplicação de forma transparente:
Passo 5
Análise de unidades (checar consistência).
- Unidades de
vindas da expressão :
- Portanto o valor numérico encontrado tem as unidades corretas de condutividade térmica.
Passo 6
Observação prática e incentivo rápido.
- Interpretação simples: com as condições dadas, a madeira tem condutividade baixa (como esperado para madeira). Se a tábua fosse o dobro de espessura, mantendo
, o fluxo por unidade de área cairia pela metade — é um jeito rápido de raciocinar no prova. - Bom trabalho! Você já tem o procedimento padrão: lembrar da lei de Fourier, converter unidades, isolar
e calcular com cuidado.