1.9 A taxa de fluxo de calor através de uma tábua de madeira com 4 cm de espessura é de 75 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, quando há uma diferença de 25^{\circ} \mathrm{C} entre as superfícies interna e externa. Qual é a condutividade térmica da madeira?
Resposta: 0,12 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma tábua de madeira com espessura e informa a taxa de fluxo de calor através dela; pede para encontrar a condutividade térmica. Dados fornecidos:
  • taxa de fluxo de calor (fluxo por unidade de área): q = 75\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2;
  • diferença de temperatura entre as superfícies: \Delta T = 25^\circ\mathrm{C};
  • espessura da tábua: 4\\ \mathrm{cm}.
O que se pede:
  • determinar a condutividade térmica k da madeira, em unidades de \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Em condução de calor unidimensional e em estado estacionário, com condutividade térmica k constante, a lei de Fourier para fluxo de calor por unidade de área diz:
q = -k\,\frac{dT}{dx}.
  • Aqui q é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: \mathrm{W}/\mathrm{m}^2), k é a condutividade térmica (unidade: \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C})), T é a temperatura e x a coordenada através da espessura.
  • Quando a variação de temperatura é linear através da espessura L (caso simples de duas superfícies com temperatura fixa), a derivada pode ser substituída por diferença finita:
q = k\,\frac{\Delta T}{L}.
(positivamente orientado do lado mais quente para o mais frio; aqui usamos o módulo do fluxo e da diferença de temperatura).
  • Explicando em palavras: o fluxo por unidade de área é proporcional à diferença de temperatura entre as faces e inversamente proporcional à espessura — se a tábua for mais grossa, menos calor passa por unidade de área.

Passo 3

Converter a espessura para o sistema SI (metros), porque as unidades de q estão em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • A espessura é 4\\ \mathrm{cm}. Como 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}, temos
L = 4\\ \mathrm{cm} = 4\times0,01\\ \mathrm{m} = 0,04\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Isolar k na relação e substituir os valores.
  • Da fórmula
q = k\,\frac{\Delta T}{L}
isolamos k:
k = q\,\frac{L}{\Delta T}.
  • Substituindo q=75\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, L=0,04\\ \mathrm{m} e \Delta T=25^\circ\mathrm{C}:
\frac{L}{\Delta T}=\frac{0,04}{25}=0,0016.
k = 75 \times 0,0016.
  • Fazer a multiplicação de forma transparente: 75\times0,0016 = \dfrac{75\times16}{10000}=\dfrac{1200}{10000}=0,12.

Passo 5

Análise de unidades (checar consistência).
  • Unidades de k vindas da expressão k = q\,\dfrac{L}{\Delta T}:
\left[\!k\right] = \frac{\mathrm{W}/\mathrm{m}^2 \times \mathrm{m}}{^\circ\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}}.
  • Portanto o valor numérico encontrado tem as unidades corretas de condutividade térmica.

Passo 6

Observação prática e incentivo rápido.
  • Interpretação simples: com as condições dadas, a madeira tem condutividade baixa (como esperado para madeira). Se a tábua fosse o dobro de espessura, mantendo \Delta T, o fluxo por unidade de área cairia pela metade — é um jeito rápido de raciocinar no prova.
  • Bom trabalho! Você já tem o procedimento padrão: lembrar da lei de Fourier, converter unidades, isolar k e calcular com cuidado.

Resposta

0,12\\ \mathrm{W}/\bigl(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}\bigr)

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