( 22 pontos) Considere as retas
\begin{aligned} & r_{1}:(x, y, z)=(1,2,3)+t(3,0,-4), \quad t \in \mathbb{R} . \\\ & \quad r_{2}:(x, y, z)=(2,2,4)+t(0,0,1), \quad t \in \mathbb{R} . \end{aligned}
(a) Qual a posição relativa entre as retas r_{1} e r_{2} ? Justifique sua resposta.
(b) Calcule o ângulo entre r_{1} e r_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
r_{1}:(x,y,z)=(1,2,3)+t(3,0,-4),\quad t\in\mathbb{R},
r_{2}:(x,y,z)=(2,2,4)+s(0,0,1),\quad s\in\mathbb{R}.
O que se pede:
  • (a) Determinar a posição relativa entre r_{1} e r_{2} (ou seja: paralelas, coincidentes, concorrentes/intersectam, ou reversas/espaçadas).
  • (b) Calcular o ângulo entre r_{1} e r_{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Ponto base de r_{1}: (1,2,3).
  • Vetor diretor de r_{1}: \mathbf{v}_1=(3,0,-4).
  • Ponto base de r_{2}: (2,2,4).
  • Vetor diretor de r_{2}: \mathbf{v}_2=(0,0,1).

Passo 2

Primeiro vamos analisar se as retas são paralelas ou não. Regra prática:
  • Duas retas no espaço têm vetores diretores paralelos se um vetor é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \mathbf{v}_1=\lambda\mathbf{v}_2.
    Se não são paralelas, para decidir se intersectam devemos tentar achar parâmetros t e s que façam as coordenadas coincidirem:
(1+3t,\,2,\,3-4t) = (2,\,2,\,4+s).
Se existir solução para t,s então as retas intersectam num ponto; caso contrário são reversas (skew).

Passo 3

Verificação de paralelismo. Temos \mathbf{v}_1=(3,0,-4) e \mathbf{v}_2=(0,0,1).
Procuramos \lambda tal que (3,0,-4)=\lambda(0,0,1)=(0,0,\lambda).
Comparando coordenadas, a primeira coordenada exigiria 3=0, o que é impossível. Logo não existe \lambda tal que \mathbf{v}_1=\lambda\mathbf{v}_2. Conclusão: as retas não são paralelas.

Passo 4

Como não são paralelas, vamos verificar se intersectam resolvendo o sistema obtido ao igualar as componentes paramétricas:
1+3t = 2, \qquad 2 = 2, \qquad 3-4t = 4+s.
Resolva a primeira equação para t:
1+3t=2 \quad\Rightarrow\quad 3t=1 \quad\Rightarrow\quad t=\tfrac{1}{3}.
A segunda equação 2=2 é verdadeira para quaisquer t,s (ela não impõe restrição adicional). Use o valor de t na terceira equação para encontrar s:
3-4\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=4+s \quad\Rightarrow\quad 3-\tfrac{4}{3}=4+s.
Calcule 3-\tfrac{4}{3}:
3-\tfrac{4}{3}=\tfrac{9}{3}-\tfrac{4}{3}=\tfrac{5}{3}.
Portanto
\tfrac{5}{3}=4+s \quad\Rightarrow\quad s=\tfrac{5}{3}-4=\tfrac{5}{3}-\tfrac{12}{3}=-\tfrac{7}{3}.
Encontramos t=\tfrac{1}{3} e s=-\tfrac{7}{3}, solução consistente. Logo existe interseção.

Passo 5

Determinar o ponto de interseção substituindo t=\tfrac{1}{3} em r_{1} (ou s=-\tfrac{7}{3} em r_{2}; deve dar o mesmo ponto). Calcule as coordenadas:
x=1+3\cdot\tfrac{1}{3}=1+1=2,
y=2\quad(\text{sempre }2),
z=3-4\cdot\tfrac{1}{3}=3-\tfrac{4}{3}=\tfrac{5}{3}.
Portanto o ponto de interseção é \left(2,\,2,\,\tfrac{5}{3}\right). Conclusão da parte (a): as retas se intersectam (são concorrentes) no ponto \left(2,2,\tfrac{5}{3}\right).

Passo 6

Agora calculamos o ângulo entre as retas. Conceito e fórmula:
  • O ângulo entre duas retas é o mesmo que o ângulo entre seus vetores diretores.
  • Se \mathbf{a} e \mathbf{b} são vetores diretores, o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|},
onde \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar e \|\mathbf{a}\| é a norma (comprimento) de \mathbf{a}, isto é \|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.
Observação prática: muitas vezes prefere-se o menor ângulo entre as retas (ângulo agudo), então usa-se o valor absoluto do cosseno se necessário. Aqui vamos obter o valor e, para apresentação usual, daremos o ângulo agudo.

Passo 7

Calcule produto escalar e normas para \mathbf{v}_1=(3,0,-4) e \mathbf{v}_2=(0,0,1).
Produto escalar:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = 3\cdot 0 + 0\cdot 0 + (-4)\cdot 1 = -4.
Normas:
\|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5,
\|\mathbf{v}_2\|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1.
Logo
\cos\theta=\frac{-4}{5\cdot 1}=-\tfrac{4}{5}.
O valor \cos\theta=-\tfrac{4}{5} corresponde a um ângulo \theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{4}{5}\right)\approx 143,13^\circ. Se estivermos interessados no menor ângulo entre as retas (ângulo agudo), tomamos o valor positivo do cosseno:
\theta_{\text{agudo}}=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{4}{5}\right).
Esse ângulo pode ser reconhecido a partir do triângulo 3–4–5: \cos\theta=\tfrac{4}{5} implica \sin\theta=\tfrac{3}{5} e \tan\theta=\tfrac{3}{4}. Numericalmente,
\theta_{\text{agudo}}=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{4}{5}\right)\approx 36,87^\circ.

Resposta

(a) As retas intersectam-se (são concorrentes); ponto de interseção \left(2,\,2,\,\tfrac{5}{3}\right).
(b) Ângulo entre r_{1} e r_{2}: \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{4}{5}\right)\approx 36,87^\circ.

Exercícios relacionados