( 22 pontos) Considere as retas
(a) Qual a posição relativa entre as retas
e
? Justifique sua resposta.
(b) Calcule o ângulo entre
e
.
(b) Calcule o ângulo entre
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
O que se pede:
- (a) Determinar a posição relativa entre
e (ou seja: paralelas, coincidentes, concorrentes/intersectam, ou reversas/espaçadas). - (b) Calcular o ângulo entre
e .
Informações relevantes fornecidas:
- Ponto base de
: . - Vetor diretor de
: . - Ponto base de
: . - Vetor diretor de
: .
Passo 2
Primeiro vamos analisar se as retas são paralelas ou não. Regra prática:
- Duas retas no espaço têm vetores diretores paralelos se um vetor é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe
tal que .
Se não são paralelas, para decidir se intersectam devemos tentar achar parâmetrose que façam as coordenadas coincidirem:
Se existir solução para
então as retas intersectam num ponto; caso contrário são reversas (skew).
Passo 3
Verificação de paralelismo. Temos
e
.
Procuramos tal que
.
Comparando coordenadas, a primeira coordenada exigiria , o que é impossível. Logo não existe
tal que
. Conclusão: as retas não são paralelas.
Procuramos
Comparando coordenadas, a primeira coordenada exigiria
Passo 4
Como não são paralelas, vamos verificar se intersectam resolvendo o sistema obtido ao igualar as componentes paramétricas:
Resolva a primeira equação para
:
A segunda equação
é verdadeira para quaisquer
(ela não impõe restrição adicional). Use o valor de
na terceira equação para encontrar
:
Calcule
:
Portanto
Encontramos
e
, solução consistente. Logo existe interseção.
Passo 5
Determinar o ponto de interseção substituindo
em
(ou
em
; deve dar o mesmo ponto). Calcule as coordenadas:
Portanto o ponto de interseção é
. Conclusão da parte (a): as retas se intersectam (são concorrentes) no ponto
.
Passo 6
Agora calculamos o ângulo entre as retas. Conceito e fórmula:
- O ângulo entre duas retas é o mesmo que o ângulo entre seus vetores diretores.
- Se
e são vetores diretores, o cosseno do ângulo entre eles é dado por
onde
é o produto escalar e
é a norma (comprimento) de
, isto é
.
Observação prática: muitas vezes prefere-se o menor ângulo entre as retas (ângulo agudo), então usa-se o valor absoluto do cosseno se necessário. Aqui vamos obter o valor e, para apresentação usual, daremos o ângulo agudo.
Observação prática: muitas vezes prefere-se o menor ângulo entre as retas (ângulo agudo), então usa-se o valor absoluto do cosseno se necessário. Aqui vamos obter o valor e, para apresentação usual, daremos o ângulo agudo.
Passo 7
Calcule produto escalar e normas para
e
.
Produto escalar:
Produto escalar:
Normas:
Logo
O valor
corresponde a um ângulo
. Se estivermos interessados no menor ângulo entre as retas (ângulo agudo), tomamos o valor positivo do cosseno:
Esse ângulo pode ser reconhecido a partir do triângulo 3–4–5:
implica
e
. Numericalmente,
Resposta
(a) As retas intersectam-se (são concorrentes); ponto de interseção
.
(b) Ângulo entre e
:
.
(b) Ângulo entre