(Questão 05)[2,0 pontos] Deduza, a partir da definição, a equação reduzida da elipse
Justifique todos os passos.
Passo 1
O enunciado pede: deduzir, a partir da definição da elipse, a sua equação reduzida
Informações que o enunciado nos dá (ou que podemos escolher sem perda de generalidade):
- A elipse é o conjunto dos pontos cujas distâncias a duas posições fixas chamadas focos somam uma constante.
- Denotarei os focos por
e e escolherei um sistema de coordenadas com o eixo passando pelos focos (escolha usual e conveniente). - Vou usar as constantes positivas
e com , onde será a soma constante das distâncias aos focos e será a distância do centro à cada foco. - Vou considerar um ponto genérico
da elipse e expressar a condição geométrica em termos de , e .
Passo 2
Posições escolhidas dos focos e definição das distâncias.
- Coloco os focos em
e . - Se
está na elipse, pela definição vale
Aqui cada raiz é a distância Euclidiana de
a um dos focos. Observação: as raízes são não-negativas, e
por hipótese.
Passo 3
Isolar uma raiz e elevar ao quadrado para eliminar uma raiz.
- Isolo a primeira raiz:
- Como ambos os lados são não-negativos, posso elevar ao quadrado sem introduzir contradições:
- Simplifico usando
e cancelando dos dois lados:
Passo 4
Resolver para a raiz restante.
- Subtrai
de ambos os lados:
- Calculo a diferença do lado esquerdo expandindo:
- Portanto
- Dividindo por
e isolando a raiz:
ou seja
Observação: o lado direito deve ser
para pontos da elipse (essa condição impõe restrições compatíveis com a elipse e com
).
Passo 5
Elevar ao quadrado novamente para eliminar a raiz restante.
- Elevando ao quadrado:
- Expando ambos os lados. No lado esquerdo:
- No lado direito:
- Igualando as duas expressões:
Passo 6
Simplificar e recolher termos para obter a forma canónica.
- Note que o termo
aparece dos dois lados e cancela, ficando
- Trago os termos envolvendo
para o mesmo lado:
- Coloco em fator
:
- Reescrevo
e reorganizo:
Passo 7
Introduzir
e obter a equação reduzida.
- Defino a convenção usual
que é positiva porque
.
- Substituindo em
e dividindo ambos os lados por , obtenho
Aqui
é o semi-eixo maior (interseção com o eixo
:
),
é o semi-eixo menor (interseção com o eixo
:
) e
satisfaz
.