(Questão 05)[2,0 pontos] Deduza, a partir da definição, a equação reduzida da elipse
E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
Justifique todos os passos.

Passo 1

O enunciado pede: deduzir, a partir da definição da elipse, a sua equação reduzida
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Informações que o enunciado nos dá (ou que podemos escolher sem perda de generalidade):
  • A elipse é o conjunto dos pontos cujas distâncias a duas posições fixas chamadas focos somam uma constante.
  • Denotarei os focos por F_{1} e F_{2} e escolherei um sistema de coordenadas com o eixo x passando pelos focos (escolha usual e conveniente).
  • Vou usar as constantes positivas a e c com a>c>0, onde 2a será a soma constante das distâncias aos focos e c será a distância do centro à cada foco.
  • Vou considerar um ponto genérico P(x,y) da elipse e expressar a condição geométrica em termos de x,y, a e c.

Passo 2

Posições escolhidas dos focos e definição das distâncias.
  • Coloco os focos em F_{1}=(-c,0) e F_{2}=(c,0).
  • Se P=(x,y) está na elipse, pela definição vale
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a.
Aqui cada raiz é a distância Euclidiana de P a um dos focos. Observação: as raízes são não-negativas, e 2a>0 por hipótese.

Passo 3

Isolar uma raiz e elevar ao quadrado para eliminar uma raiz.
  • Isolo a primeira raiz:
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
  • Como ambos os lados são não-negativos, posso elevar ao quadrado sem introduzir contradições:
(x+c)^{2}+y^{2}=(2a)^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\bigl(\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\bigr)^{2}.
  • Simplifico usando \bigl(\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\bigr)^{2}=(x-c)^{2}+y^{2} e cancelando y^{2} dos dois lados:
(x+c)^{2} = 4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x-c)^{2}.

Passo 4

Resolver para a raiz restante.
  • Subtrai (x-c)^{2} de ambos os lados:
(x+c)^{2}-(x-c)^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
  • Calculo a diferença do lado esquerdo expandindo:
(x+c)^{2}-(x-c)^{2}=(x^{2}+2cx+c^{2})-(x^{2}-2cx+c^{2})=4cx.
  • Portanto
4cx = 4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
  • Dividindo por 4 e isolando a raiz:
a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} = a^{2}-cx,
ou seja
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} = a - \frac{cx}{a}.
Observação: o lado direito deve ser \ge 0 para pontos da elipse (essa condição impõe restrições compatíveis com a elipse e com a>c).

Passo 5

Elevar ao quadrado novamente para eliminar a raiz restante.
  • Elevando ao quadrado:
(x-c)^{2}+y^{2}=\Bigl(a-\frac{cx}{a}\Bigr)^{2}.
  • Expando ambos os lados. No lado esquerdo:
(x-c)^{2}+y^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}.
  • No lado direito:
\Bigl(a-\frac{cx}{a}\Bigr)^{2}=a^{2}-2\frac{acx}{a}+\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}=a^{2}-2cx+\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}.
  • Igualando as duas expressões:
x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}=a^{2}-2cx+\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}.

Passo 6

Simplificar e recolher termos para obter a forma canónica.
  • Note que o termo -2cx aparece dos dois lados e cancela, ficando
x^{2}+c^{2}+y^{2}=a^{2}+\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}.
  • Trago os termos envolvendo x^{2} para o mesmo lado:
x^{2}-\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}} + y^{2} + c^{2}-a^{2}=0.
  • Coloco em fator x^{2}:
x^{2}\Bigl(1-\frac{c^{2}}{a^{2}}\Bigr) + y^{2} + (c^{2}-a^{2})=0.
  • Reescrevo 1-\dfrac{c^{2}}{a^{2}}=\dfrac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}} e reorganizo:
\frac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}}\,x^{2} + y^{2} = a^{2}-c^{2}.

Passo 7

Introduzir b^{2} e obter a equação reduzida.
  • Defino a convenção usual
b^{2}:=a^{2}-c^{2},
que é positiva porque a>c.
  • Substituindo em \dfrac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}}x^{2}+y^{2}=a^{2}-c^{2} e dividindo ambos os lados por a^{2}-c^{2}=b^{2}, obtenho
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Aqui a é o semi-eixo maior (interseção com o eixo x: x=\pm a), b é o semi-eixo menor (interseção com o eixo y: y=\pm b) e c satisfaz \,c^{2}=a^{2}-b^{2}.

Resposta

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

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