é uma base de \mathbb{M}_{2\times2}.
Informações dadas que vamos usar:
Os quatro vetores (matrizes) A_1,A_2,A_3,A_4 são exatamente os da lista acima.
O espaço vetorial considerado é \mathbb{M}_{2\times2} (todas as matrizes 2\times2 com operações usuais).
O que se pede é provar que esse conjunto é uma base (ou seja: é linearmente independente e gera \mathbb{M}_{2\times2}, ou então mostrar que são 4 vetores linearmente independentes num espaço de dimensão 4).]
Passo 2
Lembrete das definições e fatos que usarei (explicação didática):
Uma família de vetores é uma base de um espaço vetorial quando (i) é linearmente independente e (ii) gera o espaço. Outra forma prática: se o espaço tem dimensão n e temos n vetores linearmente independentes, então eles formam uma base.
O espaço \mathbb{M}_{2\times2} tem dimensão 4. Uma base padrão é
Explicação curta do porquê da dimensão ser 4: uma matriz 2\times2 tem quatro entradas independentes, logo a dimensão do espaço é 4.
Então, estratégia prática: mostrar que A_1,A_2,A_3,A_4 são linearmente independentes (são 4 vetores); isso já garante que formam uma base.]
Passo 3
Testar linearidade: suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que a combinação linear é a matriz nula:
Isto mostra que qualquer M é combinação linear de A_1,\dots,A_4, portanto esses vetores geram \mathbb{M}_{2\times2}.]
Passo 6
Concluir: já mostramos que A_1,A_2,A_3,A_4 são linearmente independentes (Passo 4) e que geram \mathbb{M}_{2\times2} (Passo 5). Como \mathbb{M}_{2\times2} tem dimensão 4 e temos 4 vetores linearmente independentes, segue que o conjunto dado é uma base de \mathbb{M}_{2\times2}.
Resposta
Sim. O conjunto \{A_1,A_2,A_3,A_4\} é uma base de \mathbb{M}_{2\times2}.