Mostre que
\left\{\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\}
é base de \mathbb{M}_{2 \times 2} (espaço vetorial formado pelas matrizes 2 \times 2 munido das operações usuais).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
\left\{\, A_1=\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{array}\right),\; A_2=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{array}\right),\; A_3=\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\[4pt]-1 & 1\end{array}\right),\; A_4=\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{array}\right) \,\right\}
é uma base de \mathbb{M}_{2\times2}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os quatro vetores (matrizes) A_1,A_2,A_3,A_4 são exatamente os da lista acima.
  • O espaço vetorial considerado é \mathbb{M}_{2\times2} (todas as matrizes 2\times2 com operações usuais).
    O que se pede é provar que esse conjunto é uma base (ou seja: é linearmente independente e gera \mathbb{M}_{2\times2}, ou então mostrar que são 4 vetores linearmente independentes num espaço de dimensão 4).]

Passo 2

Lembrete das definições e fatos que usarei (explicação didática):
  • Uma família de vetores é uma base de um espaço vetorial quando (i) é linearmente independente e (ii) gera o espaço. Outra forma prática: se o espaço tem dimensão n e temos n vetores linearmente independentes, então eles formam uma base.
  • O espaço \mathbb{M}_{2\times2} tem dimensão 4. Uma base padrão é
E_{11}=\left(\begin{array}{cc}1&0\\[4pt]0&0\end{array}\right),\quad E_{12}=\left(\begin{array}{cc}0&1\\[4pt]0&0\end{array}\right),\quad E_{21}=\left(\begin{array}{cc}0&0\\[4pt]1&0\end{array}\right),\quad E_{22}=\left(\begin{array}{cc}0&0\\[4pt]0&1\end{array}\right).
Explicação curta do porquê da dimensão ser 4: uma matriz 2\times2 tem quatro entradas independentes, logo a dimensão do espaço é 4.
Então, estratégia prática: mostrar que A_1,A_2,A_3,A_4 são linearmente independentes (são 4 vetores); isso já garante que formam uma base.]

Passo 3

Testar linearidade: suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que a combinação linear é a matriz nula:
\alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_3+\delta A_4 = \left(\begin{array}{cc}0&0\\[4pt]0&0\end{array}\right).
Agora vamos calcular a combinação no lado esquerdo somando as matrizes entrada a entrada. Escrevendo explicitamente:
\alpha\left(\begin{array}{cc}0&1\\[4pt]0&0\end{array}\right) + \beta\left(\begin{array}{cc}1&1\\[4pt]0&0\end{array}\right) + \gamma\left(\begin{array}{cc}0&0\\[4pt]-1&1\end{array}\right) + \delta\left(\begin{array}{cc}0&0\\[4pt]0&1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&0\\[4pt]0&0\end{array}\right).]

Passo 4

Equacione entrada a entrada (cada posição da matriz dá uma equação em \alpha,\beta,\gamma,\delta):
  • Entrada (1,1) (linha 1, coluna 1): 0\cdot\alpha + 1\cdot\beta + 0\cdot\gamma + 0\cdot\delta = 0. Logo
\beta=0.
  • Entrada (1,2): 1\cdot\alpha + 1\cdot\beta + 0\cdot\gamma + 0\cdot\delta = 0. Substituindo \beta=0 obtém-se
\alpha+0=0\quad\Rightarrow\quad \alpha=0.
  • Entrada (2,1): 0\cdot\alpha + 0\cdot\beta + (-1)\cdot\gamma + 0\cdot\delta = 0. Logo
-\gamma=0\quad\Rightarrow\quad \gamma=0.
  • Entrada (2,2): 0\cdot\alpha + 0\cdot\beta + 1\cdot\gamma + 1\cdot\delta = 0. Substituindo \gamma=0
0+\delta=0\quad\Rightarrow\quad \delta=0.
Portanto \alpha=\beta=\gamma=\delta=0. Isso prova que A_1,A_2,A_3,A_4 são linearmente independentes.

Passo 5

Como observação adicional (útil para entender geração): mostro também explicitamente que qualquer matriz
M=\left(\begin{array}{cc}x&y\\[4pt]z&w\end{array}\right)\in\mathbb{M}_{2\times2}
pode ser escrita como combinação linear dos A_i. Buscamos \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
\alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_3+\delta A_4=M.
Equacionando entradas, obtemos o sistema (já visto parcialmente):
  • (1,1): \beta = x.
  • (1,2): \alpha+\beta = y \Rightarrow \alpha = y-\beta = y-x.
  • (2,1): -\gamma = z \Rightarrow \gamma = -z.
  • (2,2): \gamma+\delta = w \Rightarrow \delta = w-\gamma = w-(-z)=w+z.
    Logo uma solução explícita é
\beta=x,\quad \alpha=y-x,\quad \gamma=-z,\quad \delta=w+z.
Isto mostra que qualquer M é combinação linear de A_1,\dots,A_4, portanto esses vetores geram \mathbb{M}_{2\times2}.]

Passo 6

Concluir: já mostramos que A_1,A_2,A_3,A_4 são linearmente independentes (Passo 4) e que geram \mathbb{M}_{2\times2} (Passo 5). Como \mathbb{M}_{2\times2} tem dimensão 4 e temos 4 vetores linearmente independentes, segue que o conjunto dado é uma base de \mathbb{M}_{2\times2}.

Resposta

Sim. O conjunto \{A_1,A_2,A_3,A_4\} é uma base de \mathbb{M}_{2\times2}.

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