1.22
Um raio luminoso parte de um meio de índice de refração
e penetra no ar. Obtenha a expressão para a determinação do ângulo limite acima do qual ocorre reflexão interna total no meio de índice de refração
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente o que está abaixo:
- Informação: um raio luminoso parte de um meio com índice de refração
e penetra no ar. - Informação implícita: o índice de refração do ar será tomado como
(a menos que se queira usar um valor mais preciso para o ar). - Pergunta: obter a expressão que determina o ângulo limite (ângulo crítico) acima do qual ocorre reflexão interna total no interior do meio de índice
.
Passo 2
Definir as variáveis e a geometria do problema (sempre desenhar mentalmente ou no rascunho):
- Denotar por
o índice do meio onde o raio está inicialmente; aqui . - Denotar por
o índice do meio para o qual o raio vai; aqui . - Denotar por
o ângulo de incidência medido entre o raio incidente e a normal à superfície (ângulo dentro do meio de índice ). - Denotar por
o ângulo de refração no ar, medido entre o raio refratado e a normal.
Explicação didática: o ângulo é sempre medido a partir da normal (a linha perpendicular à superfície de separação). Isso evita confusões com “ângulos com a superfície”.
Passo 3
Apresentar a lei que relaciona ângulos e índices (a fórmula fundamental que vamos usar):
- A lei de Snell (lei da refração) diz que
Explicação do que cada símbolo significa:
e
são índices de refração dos meios (sempre números positivos);
e
são as funções seno dos ângulos medidos com a normal. Esta lei vem da conservação de fases na interface e é a fórmula padrão para relacionar incidência e refração.
Passo 4
Entender o que é reflexão interna total e qual é a condição limite:
- Reflexão interna total ocorre quando, ao aumentar o ângulo de incidência
, a refração passa a não ser mais possível porque a solução para exigiria , o que é fisicamente impossível. - O caso limite entre refração possível e refração impossível ocorre quando o raio refratado fica tangente à superfície; isso significa
e .
Didática curta: imaginar o raio saindo cada vez mais “rasante” até ficar exatamente paralelo à superfície; esse é o limite.
Passo 5
Aplicar a condição limite na lei de Snell e isolar o ângulo crítico:
- Usar
, e tomar (limite). Substituindo em Snell:
onde
é o ângulo crítico (ângulo limite) dentro do meio de índice
.
- Isolando
:
Explicação didática: isso vem direto da fórmula; a razão dos índices dá o seno do ângulo crítico.
Passo 6
Especializar para o caso “penetra no ar” (usar
) e escrever a expressão final:
- Para o ar, aproximando
,
- Portanto o ângulo crítico é
Didática: a função
(ou
) é a inversa do seno; ela dá o ângulo cujo seno é o número dado. Note que a expressão só é válida quando o argumento de
está entre
e
.
Passo 7
Condições de validade e interpretação física (essenciais para usar a fórmula na prova):
- A relação
só faz sentido para gerar um ângulo real se , ou seja para . - Reflexão interna total só ocorre quando se vai de um meio mais denso para um meio menos denso; aqui isso requer
. Se não há ângulo crítico (não ocorre TIR). - Exemplo numérico rápido para fixar: se
(vidro comum),
Assim, qualquer ângulo de incidência dentro do vidro maior que
(medido da normal) produz reflexão interna total.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (como usar isso sem erro):
- Sempre identificar qual meio é mais denso; o ângulo crítico existe apenas quando o raio tenta sair do meio mais denso para o menos denso.
- Não esquecer que os ângulos são medidos a partir da normal, não da superfície.
- Se pedirem em radianos, converter
usando a relação usual; muitas vezes é suficiente deixar como . - Se o enunciado der um índice do ar diferente de
, substituir por na fórmula geral .
Resposta
válido para