1.22
Um raio luminoso parte de um meio de índice de refração n e penetra no ar. Obtenha a expressão para a determinação do ângulo limite acima do qual ocorre reflexão interna total no meio de índice de refração n.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente o que está abaixo:
  • Informação: um raio luminoso parte de um meio com índice de refração n e penetra no ar.
  • Informação implícita: o índice de refração do ar será tomado como n_{\text{ar}}\approx1 (a menos que se queira usar um valor mais preciso para o ar).
  • Pergunta: obter a expressão que determina o ângulo limite (ângulo crítico) acima do qual ocorre reflexão interna total no interior do meio de índice n.

Passo 2

Definir as variáveis e a geometria do problema (sempre desenhar mentalmente ou no rascunho):
  • Denotar por n_1 o índice do meio onde o raio está inicialmente; aqui n_1=n.
  • Denotar por n_2 o índice do meio para o qual o raio vai; aqui n_2=n_{\text{ar}}\approx1.
  • Denotar por \theta o ângulo de incidência medido entre o raio incidente e a normal à superfície (ângulo dentro do meio de índice n).
  • Denotar por \theta' o ângulo de refração no ar, medido entre o raio refratado e a normal.
    Explicação didática: o ângulo é sempre medido a partir da normal (a linha perpendicular à superfície de separação). Isso evita confusões com “ângulos com a superfície”.

Passo 3

Apresentar a lei que relaciona ângulos e índices (a fórmula fundamental que vamos usar):
  • A lei de Snell (lei da refração) diz que
n_1\sin\theta = n_2\sin\theta'.
Explicação do que cada símbolo significa: n_1 e n_2 são índices de refração dos meios (sempre números positivos); \sin\theta e \sin\theta' são as funções seno dos ângulos medidos com a normal. Esta lei vem da conservação de fases na interface e é a fórmula padrão para relacionar incidência e refração.

Passo 4

Entender o que é reflexão interna total e qual é a condição limite:
  • Reflexão interna total ocorre quando, ao aumentar o ângulo de incidência \theta, a refração passa a não ser mais possível porque a solução para \theta' exigiria \sin\theta'>1, o que é fisicamente impossível.
  • O caso limite entre refração possível e refração impossível ocorre quando o raio refratado fica tangente à superfície; isso significa \theta'=90^\circ e \sin\theta'=1.
    Didática curta: imaginar o raio saindo cada vez mais “rasante” até ficar exatamente paralelo à superfície; esse é o limite.

Passo 5

Aplicar a condição limite na lei de Snell e isolar o ângulo crítico:
  • Usar n_1=n, n_2=n_{\text{ar}} e tomar \theta' = 90^\circ (limite). Substituindo em Snell:
n\sin\theta_c = n_{\text{ar}}\cdot 1,
onde \theta_c é o ângulo crítico (ângulo limite) dentro do meio de índice n.
  • Isolando \sin\theta_c:
\sin\theta_c = \frac{n_{\text{ar}}}{n}.
Explicação didática: isso vem direto da fórmula; a razão dos índices dá o seno do ângulo crítico.

Passo 6

Especializar para o caso “penetra no ar” (usar n_{\text{ar}}\approx1) e escrever a expressão final:
  • Para o ar, aproximando n_{\text{ar}}=1,
\sin\theta_c = \frac{1}{n}.
  • Portanto o ângulo crítico é
\theta_c = \arcsin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Didática: a função \arcsin (ou \sin^{-1}) é a inversa do seno; ela dá o ângulo cujo seno é o número dado. Note que a expressão só é válida quando o argumento de \arcsin está entre -1 e 1.

Passo 7

Condições de validade e interpretação física (essenciais para usar a fórmula na prova):
  • A relação \sin\theta_c=\dfrac{1}{n} só faz sentido para gerar um ângulo real se \dfrac{1}{n}\le 1, ou seja para n\ge 1.
  • Reflexão interna total só ocorre quando se vai de um meio mais denso para um meio menos denso; aqui isso requer n>n_{\text{ar}}\approx1. Se n\le 1 não há ângulo crítico (não ocorre TIR).
  • Exemplo numérico rápido para fixar: se n=1{,}5 (vidro comum),
\theta_c=\arcsin\!\left(\frac{1}{1{,}5}\right)=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx 41{,}8^\circ.
Assim, qualquer ângulo de incidência dentro do vidro maior que 41{,}8^\circ (medido da normal) produz reflexão interna total.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (como usar isso sem erro):
  • Sempre identificar qual meio é mais denso; o ângulo crítico existe apenas quando o raio tenta sair do meio mais denso para o menos denso.
  • Não esquecer que os ângulos são medidos a partir da normal, não da superfície.
  • Se pedirem em radianos, converter \theta_c usando a relação usual; muitas vezes é suficiente deixar como \theta_c=\arcsin(1/n).
  • Se o enunciado der um índice do ar diferente de 1, substituir 1 por n_{\text{ar}} na fórmula geral \sin\theta_c = \dfrac{n_{\text{ar}}}{n}.

Resposta

\displaystyle \theta_c=\arcsin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)
válido para n>1.

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