1.21
Em um meio homogêneo e isotrópico o caminho óptico de um raio luminoso que vai de um ponto A para um ponto B é igual a 900 m . Sabendo-se que a distância entre A e B é igual a 600 m , calcule o índice de refração do meio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O caminho óptico do raio entre A e B é igual a 900\\ \text{m}.
  • A distância geométrica (reta) entre A e B é igual a 600\\ \text{m}.
O que o problema pede:
  • Calcular o índice de refração do meio.

Passo 2

Vamos entender o que é “caminho óptico”. Em termos gerais, o caminho óptico S ao longo de uma trajetória de A até B é dado por
S=\int_{A}^{B} n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s,
onde:
  • n(\mathbf{r}) é o índice de refração no ponto \mathbf{r} (pode variar no espaço);
  • \mathrm{d}s é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da trajetória.
    Essa fórmula significa: soma-se, ponto a ponto, a contribuição do índice de refração multiplicada pelo pequeno comprimento percorrido.

Passo 3

No caso de um meio homogêneo e isotrópico o índice de refração é constant e não depende da posição: n(\mathbf{r})=n constante. Então a integral simplifica para
S=n\int_{A}^{B}\mathrm{d}s=n\cdot L,
onde L é o comprimento geométrico da trajetória entre A e B. Se o raio vai em linha reta entre A e B, L é a distância entre os pontos (aqui L=600\\ \text{m}). Em palavras: em meio homogêneo o caminho óptico é o índice vezes a distância física.

Passo 4

Usando S=n\cdot L e isolando n temos
n=\frac{S}{L}.
Substituindo os valores dados:
n=\frac{900}{600}=\frac{3}{2}=1,5.
Aqui foi usado que \dfrac{900}{600}=\dfrac{900\div300}{600\div300}=\dfrac{3}{2}.

Passo 5

Interpretação física curta e útil: n=1,5 significa que a luz no meio viaja mais devagar que no vácuo. Pela relação n=\dfrac{c}{v} (onde c é a velocidade da luz no vácuo e v a velocidade no meio) obtém-se, por exemplo,
v=\frac{c}{n}\approx\frac{3\times10^{8}\\ \text{m/s}}{1,5}=2\times10^{8}\\ \text{m/s}.
Ou seja, a luz percorre efetivamente a mesma distância física em mais tempo, o que faz o “caminho óptico” ser maior que a distância geométrica.

Passo 6

Dica de prova: quando o meio for homogêneo, sempre use S=nL. Se te der apenas S e L, o índice é sempre a razão S/L. Se o meio não for homogêneo, aí sim precisa da integral \displaystyle S=\int n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s.

Resposta

n=1,5

Exercícios relacionados