9-22 Repeat Example 9-1 (gas compressed in a cylinder by a piston), but without using the continuity equation. Instead, consider the fundamental definition of density as mass divided by volume. Verify that Eq. 5 of Example 9-1 is correct.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Repetir o raciocínio do exemplo (gás comprimido num cilindro por um pistão) sem usar a equação da continuidade pronta, mas sim partindo da definição fundamental de densidade como massa dividida por volume, e verificar que a Eq. 5 do Exemplo 9‑1 está correta.
Informações relevantes (hipóteses que vamos usar — típicas do exemplo):
  • Geometria unidimensional ao longo do eixo x (cilindro com seção reta constante).
  • Seção transversal do cilindro: área constante A.
  • Densidade do gás: \rho(x,t).
  • Velocidade do gás (campo unidimensional): u(x,t).
  • Consideraremos um pequeno elemento de fluido entre x e x+dx.
  • Definição fundamental de densidade que vamos usar: \rho = \dfrac{m}{V}, onde m é a massa do elemento de fluido e V o seu volume.
O objetivo concreto da verificação: obter a relação que corresponde à Eq. 5 do exemplo — a forma local da conservação de massa. Não uso aqui a equação da continuidade já conhecida; vou deduzi‑la a partir de \rho = m/V.

Passo 2

Escrever a conservação de massa para um elemento material.
Escolho um elemento material (ou seja: a porção de fluido que contém sempre a mesma massa m conforme se deforma). Para esse elemento vale:
m=\rho\,V.
Como m é constante para o elemento material, a derivada material (derivada seguindo o elemento) de m é zero:
\frac{D m}{D t}=0.
Então
\frac{D}{D t}(\rho V)=0.
Vou agora expandir essa expressão usando a regra do produto:
\frac{D\rho}{D t}\,V+\rho\,\frac{D V}{D t}=0.
Esta é uma forma direta da conservação de massa: a variação da densidade mais a variação do volume devem compensar, porque a massa é fixa.

Passo 3

Relacionar a variação do volume \dfrac{D V}{D t} com o gradiente de velocidade.
O volume do elemento, por ser um “tubo” de área A e comprimento dx, é
V = A\,dx.
Como A é constante,
\frac{D V}{D t} = A\,\frac{D(dx)}{D t}.
Agora interpretar \dfrac{D(dx)}{D t}: o comprimento dx é a distância entre duas partículas do fluido, uma na posição x e outra em x+dx. A taxa de variação dessa distância é a diferença das velocidades nas extremidades:
\frac{D(dx)}{D t} = u(x+dx,t)-u(x,t).
Para dx pequeno, usando expansão em série (ou definição do derivada),
u(x+dx,t)-u(x,t)\approx \frac{\partial u}{\partial x}\,dx.
Portanto
\frac{D(dx)}{D t}\approx \frac{\partial u}{\partial x}\,dx.
Multiplicando por A,
\frac{D V}{D t} \approx A\frac{\partial u}{\partial x}\,dx.
Mas V=A\,dx, assim podemos escrever a razão procurada:
\frac{1}{V}\frac{D V}{D t} \approx \frac{A\frac{\partial u}{\partial x}\,dx}{A\,dx}=\frac{\partial u}{\partial x}.
Interpretação física rápida: a taxa relativa de variação do volume do elemento é igual ao gradiente espacial da velocidade — se as partículas à frente se movem mais devagar que as de trás ( \partial u/\partial x<0), o elemento comprime e o volume diminui.

Passo 4

Voltar à expressão da conservação de massa e substituir a razão (DV/Dt)/V.
Recordando
\frac{D\rho}{D t}\,V+\rho\,\frac{D V}{D t}=0,
divido por V (que é não nulo):
\frac{D\rho}{D t}+\rho\frac{1}{V}\frac{D V}{D t}=0.
Pelo resultado do passo anterior \dfrac{1}{V}\dfrac{D V}{D t}=\dfrac{\partial u}{\partial x}. Substituindo:
\frac{D\rho}{D t}+\rho\frac{\partial u}{\partial x}=0.
Esta é uma forma da relação que queremos verificar. Agora explico o que é \dfrac{D}{Dt} e mostro a forma espacial (euleriana) usual.

Passo 5

Expressar a derivada material em termos de derivadas parciais e obter a forma local da conservação de massa.
Definição da derivada material (seguindo uma partícula do fluido, na configuração unidimensional):
\frac{D}{D t}=\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial x}.
Aplicando à densidade:
\frac{D\rho}{D t}=\frac{\partial \rho}{\partial t}+u\frac{\partial \rho}{\partial x}.
Substituindo isso na equação obtida no passo anterior:
\frac{\partial \rho}{\partial t}+u\frac{\partial \rho}{\partial x}+\rho\frac{\partial u}{\partial x}=0.
Agora faço a manipulação algébrica padrão: o termo à esquerda pode ser reconhecido como a derivada espacial do produto \rho u, porque
\frac{\partial (\rho u)}{\partial x} = \rho\frac{\partial u}{\partial x} + u\frac{\partial \rho}{\partial x}.
Então agrupando:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} = 0.
Pronto — esta é a forma euleriana da conservação de massa em 1D, que corresponde à Eq. 5 do exemplo. Verificamos-a a partir de \rho=m/V sem partir da equação da continuidade já pronta.

Passo 6

Interpretação e dica prática para a prova (curta e motivadora).
  • A ideia-chave usada foi simples e física: para um mesmo pedaço de massa m, se o volume diminui a densidade aumenta, e a taxa relativa de variação de volume é dada pelo gradiente de velocidade.
  • Em provas, lembrar desse truque — pegar um elemento material, escrever m=\rho V, derivar em relação ao tempo material e relacionar DV/Dt com \partial u/\partial x — é uma maneira segura de deduzir a equação de continuidade sem decorar.
  • Força: mesmo que o enunciado peça explicitamente “sem usar a equação da continuidade”, essa dedução produz exatamente a forma local conhecida dela.

Resposta

\displaystyle \frac{D\rho}{D t}+\rho\frac{\partial u}{\partial x}=0
\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}=0

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