9-22 Repeat Example 9-1 (gas compressed in a cylinder by a piston), but without using the continuity equation. Instead, consider the fundamental definition of density as mass divided by volume. Verify that Eq. 5 of Example 9-1 is correct.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Repetir o raciocínio do exemplo (gás comprimido num cilindro por um pistão) sem usar a equação da continuidade pronta, mas sim partindo da definição fundamental de densidade como massa dividida por volume, e verificar que a Eq. 5 do Exemplo 9‑1 está correta.
Informações relevantes (hipóteses que vamos usar — típicas do exemplo):
- Geometria unidimensional ao longo do eixo
(cilindro com seção reta constante). - Seção transversal do cilindro: área constante
. - Densidade do gás:
. - Velocidade do gás (campo unidimensional):
. - Consideraremos um pequeno elemento de fluido entre
e . - Definição fundamental de densidade que vamos usar:
, onde é a massa do elemento de fluido e o seu volume.
O objetivo concreto da verificação: obter a relação que corresponde à Eq. 5 do exemplo — a forma local da conservação de massa. Não uso aqui a equação da continuidade já conhecida; vou deduzi‑la a partir de
.
Passo 2
Escrever a conservação de massa para um elemento material.
Escolho um elemento material (ou seja: a porção de fluido que contém sempre a mesma massa
conforme se deforma). Para esse elemento vale:
Como
é constante para o elemento material, a derivada material (derivada seguindo o elemento) de
é zero:
Então
Vou agora expandir essa expressão usando a regra do produto:
Esta é uma forma direta da conservação de massa: a variação da densidade mais a variação do volume devem compensar, porque a massa é fixa.
Passo 3
Relacionar a variação do volume
com o gradiente de velocidade.
O volume do elemento, por ser um “tubo” de área
e comprimento
, é
Como
é constante,
Agora interpretar
: o comprimento
é a distância entre duas partículas do fluido, uma na posição
e outra em
. A taxa de variação dessa distância é a diferença das velocidades nas extremidades:
Para
pequeno, usando expansão em série (ou definição do derivada),
Portanto
Multiplicando por
,
Mas
, assim podemos escrever a razão procurada:
Interpretação física rápida: a taxa relativa de variação do volume do elemento é igual ao gradiente espacial da velocidade — se as partículas à frente se movem mais devagar que as de trás (
), o elemento comprime e o volume diminui.
Passo 4
Voltar à expressão da conservação de massa e substituir a razão
.
Recordando
divido por
(que é não nulo):
Pelo resultado do passo anterior
. Substituindo:
Esta é uma forma da relação que queremos verificar. Agora explico o que é
e mostro a forma espacial (euleriana) usual.
Passo 5
Expressar a derivada material em termos de derivadas parciais e obter a forma local da conservação de massa.
Definição da derivada material (seguindo uma partícula do fluido, na configuração unidimensional):
Aplicando à densidade:
Substituindo isso na equação obtida no passo anterior:
Agora faço a manipulação algébrica padrão: o termo à esquerda pode ser reconhecido como a derivada espacial do produto
, porque
Então agrupando:
Pronto — esta é a forma euleriana da conservação de massa em 1D, que corresponde à Eq. 5 do exemplo. Verificamos-a a partir de
sem partir da equação da continuidade já pronta.
Passo 6
Interpretação e dica prática para a prova (curta e motivadora).
- A ideia-chave usada foi simples e física: para um mesmo pedaço de massa
, se o volume diminui a densidade aumenta, e a taxa relativa de variação de volume é dada pelo gradiente de velocidade. - Em provas, lembrar desse truque — pegar um elemento material, escrever
, derivar em relação ao tempo material e relacionar com — é uma maneira segura de deduzir a equação de continuidade sem decorar. - Força: mesmo que o enunciado peça explicitamente “sem usar a equação da continuidade”, essa dedução produz exatamente a forma local conhecida dela.