9-15E Alex is measuring the time-averaged velocity components in a pump using a laser Doppler velocimeter (LDV). Since the laser beams are aligned with the radial and tangential directions of the pump, he measures the
and
components of velocity. At
in and
and
. Unfortunately, the data analysis program requires input in Cartesian coordinates
in feet and (
) in ft/s. Help Alex transform his data into Cartesian coordinates. Specifically, calculate
, and
at the given data point.
Passo 1
O enunciado dá as medidas em coordenadas polares e pede as coordenadas cartesianas em pés e as componentes de velocidade em ft/s. Informações fornecidas:
- Raio:
. - Ângulo:
. - Componente radial da velocidade:
. - Componente tangencial da velocidade:
.
O que devemos calcular:
- As coordenadas cartesianas
e (em pés). - As componentes cartesianas da velocidade
e (em ft/s).
Observação imediata:
está em polegadas e precisa ser convertido para pés antes de usar as fórmulas cartesianas.
Passo 2
Converter
de polegadas para pés. A relação é
. Logo,
Aplicando o valor dado:
Passo 3
Converter coordenadas polares
para cartesianas
. Fórmulas:
Usando
(sabendo que
e
) e
:
Agora os valores numéricos (aproximações):
Passo 4
Explicar como transformar as componentes de velocidade polares
em componentes cartesianas
.
Vetores unitários polares em função de
(eixo
) e
(eixo
):
A velocidade vetorial é
Projetando em
e
obtemos as componentes cartesianas:
Essas fórmulas vêm da combinação linear das expressões de
e
.
Passo 5
Aplicar as fórmulas para
e
usando os valores numéricos e
,
.
Calcular
:
Primeiro os produtos:
Subtraindo:
Calcular
:
Produtos:
Somando:
Passo 6
Arredondamentos finais (mantendo número de algarismos coerente com dados originais; aqui apresento resultados com três algarismos significativos quando apropriado):
Valores finais aproximados: