9-15E Alex is measuring the time-averaged velocity components in a pump using a laser Doppler velocimeter (LDV). Since the laser beams are aligned with the radial and tangential directions of the pump, he measures the u_{r} and u_{\theta} components of velocity. At r=5.20 in and \theta=30.0^{\circ}, u_{r}= 2.06 \mathrm{ft} / \mathrm{s} and u_{\theta}=4.66 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. Unfortunately, the data analysis program requires input in Cartesian coordinates (x, y) in feet and ( u, v ) in ft/s. Help Alex transform his data into Cartesian coordinates. Specifically, calculate x, y, u, and v at the given data point.

Passo 1

O enunciado dá as medidas em coordenadas polares e pede as coordenadas cartesianas em pés e as componentes de velocidade em ft/s. Informações fornecidas:
  • Raio: r=5,20\\ \text{in}.
  • Ângulo: \theta=30,0^\circ.
  • Componente radial da velocidade: u_{r}=2,06\\ \text{ft/s}.
  • Componente tangencial da velocidade: u_{\theta}=4,66\\ \text{ft/s}.
O que devemos calcular:
  • As coordenadas cartesianas x e y (em pés).
  • As componentes cartesianas da velocidade u e v (em ft/s).
Observação imediata: r está em polegadas e precisa ser convertido para pés antes de usar as fórmulas cartesianas.

Passo 2

Converter r de polegadas para pés. A relação é 1\\ \text{in}=1/12\\ \text{ft}. Logo,
r_{\text{ft}}=\frac{r_{\text{in}}}{12}.
Aplicando o valor dado:
r_{\text{ft}}=\frac{5,20}{12}=\frac{13}{30}\\ \text{ft}\approx0,433333\\ \text{ft}.

Passo 3

Converter coordenadas polares (r,\theta) para cartesianas (x,y). Fórmulas:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Usando \theta=30,0^\circ (sabendo que \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}) e r=\dfrac{13}{30}\\ \text{ft}:
x=\frac{13}{30}\cos30^\circ=\frac{13}{30}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13\sqrt{3}}{60}\\ \text{ft},
y=\frac{13}{30}\sin30^\circ=\frac{13}{30}\cdot\frac{1}{2}=\frac{13}{60}\\ \text{ft}.
Agora os valores numéricos (aproximações):
x\approx0,3752777\\ \text{ft}, \qquad y\approx0,2166667\\ \text{ft}.

Passo 4

Explicar como transformar as componentes de velocidade polares (u_{r},u_{\theta}) em componentes cartesianas (u,v).
Vetores unitários polares em função de i (eixo x) e j (eixo y):
\mathbf{e}_r=\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\theta\,\mathbf{j}, \qquad \mathbf{e}_\theta=-\sin\theta\,\mathbf{i}+\cos\theta\,\mathbf{j}.
A velocidade vetorial é
\mathbf{V}=u_{r}\mathbf{e}_r+u_{\theta}\mathbf{e}_\theta.
Projetando em i e j obtemos as componentes cartesianas:
u = u_{r}\cos\theta - u_{\theta}\sin\theta, \qquad v = u_{r}\sin\theta + u_{\theta}\cos\theta.
Essas fórmulas vêm da combinação linear das expressões de \mathbf{e}_r e \mathbf{e}_\theta.

Passo 5

Aplicar as fórmulas para u e v usando os valores numéricos e \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660254, \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}=0,5.
Calcular u:
u = 2,06\cdot\cos30^\circ - 4,66\cdot\sin30^\circ.
Primeiro os produtos:
2,06\cdot\cos30^\circ \approx 2,06\cdot0,8660254 \approx 1,7840123,
4,66\cdot\sin30^\circ = 4,66\cdot0,5 = 2,33.
Subtraindo:
u \approx 1,7840123 - 2,33 \approx -0,5459877\\ \text{ft/s}.
Calcular v:
v = 2,06\cdot\sin30^\circ + 4,66\cdot\cos30^\circ.
Produtos:
2,06\cdot0,5 = 1,03,
4,66\cdot0,8660254 \approx 4,0356784.
Somando:
v \approx 1,03 + 4,0356784 \approx 5,0656784\\ \text{ft/s}.

Passo 6

Arredondamentos finais (mantendo número de algarismos coerente com dados originais; aqui apresento resultados com três algarismos significativos quando apropriado):
Valores finais aproximados:
x\approx0,375\\ \text{ft}, \qquad y\approx0,217\\ \text{ft},
u\approx-0,546\\ \text{ft/s}, \qquad v\approx5,07\\ \text{ft/s}.

Resposta

x=0,375\\ \text{ft}
y=0,217\\ \text{ft}
u=-0,546\\ \text{ft/s}
v=5,07\\ \text{ft/s}

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