9-23 Consider the steady, two-dimensional velocity field given by
. Verify that this flow field is incompressible.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional e estacionário
e pede para verificar se esse campo é incompressível.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A componente
da velocidade é . - A componente
da velocidade é . - A verificação de incompressibilidade será feita a partir dessas expressões.
Passo 2
O que significa “incompressível” aqui? Vou usar a forma usual da equação da continuidade para fluido incompressível e campo de velocidade: \n
Para um fluido com densidade constante, a condição de incompressibilidade reduz-se a
Para um fluido com densidade constante, a condição de incompressibilidade reduz-se a
Em coordenadas cartesianas bidimensionais essa divergência é dada por
Portanto, basta calcular as derivadas parciais
e
e somá-las.
Passo 3
Calcular
. Como
, trata-se de uma função linear em
; a derivada em relação a
de uma constante é zero e de
é
. Logo,
Passo 4
Calcular
. Como
, a derivada em relação a
de
é zero e de
é
. Portanto,
Passo 5
Somar as derivadas parciais para obter a divergência: