9-23 Consider the steady, two-dimensional velocity field given by \vec{V}=(u, v)=(1.6+2.8 x) \vec{i}+(1.5-2.8 y) \vec{j}. Verify that this flow field is incompressible.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional e estacionário
\vec{V}=(u,v)=(1{,}6+2{,}8\,x)\,\vec{i}+(1{,}5-2{,}8\,y)\,\vec{j}
e pede para verificar se esse campo é incompressível.
Informações relevantes fornecidas:
  • A componente u da velocidade é u(x,y)=1{,}6+2{,}8\,x.
  • A componente v da velocidade é v(x,y)=1{,}5-2{,}8\,y.
  • A verificação de incompressibilidade será feita a partir dessas expressões.

Passo 2

O que significa “incompressível” aqui? Vou usar a forma usual da equação da continuidade para fluido incompressível e campo de velocidade: \n
Para um fluido com densidade constante, a condição de incompressibilidade reduz-se a
\nabla\cdot\vec{V}=0.
Em coordenadas cartesianas bidimensionais essa divergência é dada por
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}.
Portanto, basta calcular as derivadas parciais \partial u/\partial x e \partial v/\partial y e somá-las.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}. Como u(x,y)=1{,}6+2{,}8\,x, trata-se de uma função linear em x; a derivada em relação a x de uma constante é zero e de 2{,}8\,x é 2{,}8. Logo,
\frac{\partial u}{\partial x}=2{,}8.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial v}{\partial y}. Como v(x,y)=1{,}5-2{,}8\,y, a derivada em relação a y de 1{,}5 é zero e de -2{,}8\,y é -2{,}8. Portanto,
\frac{\partial v}{\partial y}=-2{,}8.

Passo 5

Somar as derivadas parciais para obter a divergência:
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=2{,}8+(-2{,}8)=0.

Resposta

\nabla\cdot\vec{V}=0, portanto o campo de velocidade é incompressível.

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