9-20C If a flow field is compressible, what can we say about the material derivative of density? What about if the flow field is incompressible?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Para um campo de velocidade que é compressível, o que podemos afirmar sobre a derivada material da densidade?
  • Para um campo de velocidade que é incompressível, o que podemos afirmar sobre a derivada material da densidade?
Informações implícitas no enunciado (que vamos usar depois):
  • A densidade do fluido será indicada por \rho.
  • A velocidade do fluido será indicada por \mathbf{u}.
  • A “derivada material” é a taxa de variação observada por um fluido ao se mover com o campo de velocidade.

Passo 2

Definição da derivada material (o que significa na prática).
  • A derivada material de \rho é a taxa de variação da densidade vista por uma partícula fluida ao longo de sua trajetória. Escreve‑se
\frac{D\rho}{Dt} \equiv \frac{\partial\rho}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\rho.
  • Aqui \displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t} é a variação local da densidade no ponto fixo no espaço, \mathbf{u}\cdot\nabla\rho é a contribuição advectiva (a alteração que vem do transporte de regiões com densidade diferente pela velocidade \mathbf{u}).

Passo 3

Equação da continuidade (conservação de massa) e manipulação algébrica.
  • A equação da continuidade para um fluido (forma geral, sem hipóteses) é
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = 0.
  • Expandindo o termo \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) usando a regra do produto vetorial obtemos
\nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = \mathbf{u}\cdot\nabla\rho + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{u}.
  • Substituindo na continuidade:
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\rho + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{u} = 0.
  • Reconhecendo a derivada material no dois primeiros termos, obtemos a relação fundamental
\frac{D\rho}{Dt} + \rho\,\nabla\cdot\mathbf{u} = 0,
ou isolando a derivada material,
\frac{D\rho}{Dt} = -\rho\,\nabla\cdot\mathbf{u}.
Esta fórmula é central: ela conecta a variação da densidade seguida por uma partícula com a divergência do campo de velocidade.

Passo 4

Interpretação física para fluxo compressível.
  • Definição prática: num fluxo compressível, a densidade de uma partícula pode mudar com o tempo ao seguir a partícula, ou seja, não é forçada a permanecer constante.
  • Da relação \displaystyle\frac{D\rho}{Dt} = -\rho\,\nabla\cdot\mathbf{u} vemos que, em geral, \displaystyle\frac{D\rho}{Dt} pode ser diferente de zero sempre que \nabla\cdot\mathbf{u}\neq 0.
  • Significado físico: se \nabla\cdot\mathbf{u}>0 (divergência positiva, expansão local), então \displaystyle\frac{D\rho}{Dt}<0 e a densidade de uma partícula diminui; se \nabla\cdot\mathbf{u}<0 (compressão local), então \displaystyle\frac{D\rho}{Dt}>0 e a densidade aumenta.
  • Exemplo simples e concreto: suponha \nabla\cdot\mathbf{u}=a constante. A equação fica \displaystyle\frac{D\rho}{Dt}=-a\rho, cuja solução ao longo da trajetória de uma partícula é
\rho(t)=\rho_0 e^{-a t},
com \rho_0 densidade inicial. Isso mostra claramente como a divergência controla a variação da densidade.

Passo 5

Interpretação física para fluxo incompressível.
  • A definição usual de incompressibilidade (no sentido mais direto) é que a densidade de cada partícula não muda com o tempo: isto é
\frac{D\rho}{Dt}=0.
  • Usando \displaystyle\frac{D\rho}{Dt} = -\rho\,\nabla\cdot\mathbf{u}, e supondo \rho\neq 0, obtemos a condição equivalente
\nabla\cdot\mathbf{u}=0.
  • Portanto, para um fluido incompressível a divergência do campo de velocidade é nula e a densidade é constante ao longo de trajetórias de partículas.
  • Observação prática: em muitas aplicações assume‑se densidade espacialmente constante (por exemplo \rho=\text{constante} em todo o domínio), o que implica imediatamente \partial\rho/\partial t=0 e \nabla\rho=0, e então a continuidade reduz-se a \nabla\cdot\mathbf{u}=0. Em resumo: incompressível ⇔ \displaystyle\frac{D\rho}{Dt}=0 e, para \rho\neq 0, isto é equivalente a \nabla\cdot\mathbf{u}=0.

Passo 6

Resumo intuitivo e dicas para prova (como responder rápido)
  • Regra rápida que cai bem na prova: escreva a continuidade e mostre a identidade
\frac{D\rho}{Dt} = -\rho\,\nabla\cdot\mathbf{u}.
  • A partir daí conclua:
    • Se o fluxo é compressível: normalmente \nabla\cdot\mathbf{u}\neq 0, logo \displaystyle\frac{D\rho}{Dt} pode ser diferente de zero (densidade varia ao seguir a partícula).
    • Se o fluxo é incompressível: \displaystyle\frac{D\rho}{Dt}=0 e, para densidade não nula, \nabla\cdot\mathbf{u}=0.
  • Frase curta pra gravar: “compressível → densidade de partícula pode mudar; incompressível → densidade de partícula não muda (derivada material zero).”

Resposta

Para fluxo compressível: \displaystyle\frac{D\rho}{Dt}=-\rho\,\nabla\cdot\mathbf{u}, que em geral pode ser diferente de zero (densidade de uma partícula pode variar).
Para fluxo incompressível: \displaystyle\frac{D\rho}{Dt}=0 e, para \rho\neq0, isso é equivalente a \nabla\cdot\mathbf{u}=0.

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