9-20C If a flow field is compressible, what can we say about the material derivative of density? What about if the flow field is incompressible?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- Para um campo de velocidade que é compressível, o que podemos afirmar sobre a derivada material da densidade?
- Para um campo de velocidade que é incompressível, o que podemos afirmar sobre a derivada material da densidade?
Informações implícitas no enunciado (que vamos usar depois):
- A densidade do fluido será indicada por
. - A velocidade do fluido será indicada por
. - A “derivada material” é a taxa de variação observada por um fluido ao se mover com o campo de velocidade.
Passo 2
Definição da derivada material (o que significa na prática).
- A derivada material de
é a taxa de variação da densidade vista por uma partícula fluida ao longo de sua trajetória. Escreve‑se
- Aqui
é a variação local da densidade no ponto fixo no espaço, é a contribuição advectiva (a alteração que vem do transporte de regiões com densidade diferente pela velocidade ).
Passo 3
Equação da continuidade (conservação de massa) e manipulação algébrica.
- A equação da continuidade para um fluido (forma geral, sem hipóteses) é
- Expandindo o termo
usando a regra do produto vetorial obtemos
- Substituindo na continuidade:
- Reconhecendo a derivada material no dois primeiros termos, obtemos a relação fundamental
ou isolando a derivada material,
Esta fórmula é central: ela conecta a variação da densidade seguida por uma partícula com a divergência do campo de velocidade.
Passo 4
Interpretação física para fluxo compressível.
- Definição prática: num fluxo compressível, a densidade de uma partícula pode mudar com o tempo ao seguir a partícula, ou seja, não é forçada a permanecer constante.
- Da relação
vemos que, em geral, pode ser diferente de zero sempre que . - Significado físico: se
(divergência positiva, expansão local), então e a densidade de uma partícula diminui; se (compressão local), então e a densidade aumenta. - Exemplo simples e concreto: suponha
constante. A equação fica , cuja solução ao longo da trajetória de uma partícula é
com
densidade inicial. Isso mostra claramente como a divergência controla a variação da densidade.
Passo 5
Interpretação física para fluxo incompressível.
- A definição usual de incompressibilidade (no sentido mais direto) é que a densidade de cada partícula não muda com o tempo: isto é
- Usando
, e supondo , obtemos a condição equivalente
- Portanto, para um fluido incompressível a divergência do campo de velocidade é nula e a densidade é constante ao longo de trajetórias de partículas.
- Observação prática: em muitas aplicações assume‑se densidade espacialmente constante (por exemplo
em todo o domínio), o que implica imediatamente e , e então a continuidade reduz-se a . Em resumo: incompressível ⇔ e, para , isto é equivalente a .
Passo 6
Resumo intuitivo e dicas para prova (como responder rápido)
- Regra rápida que cai bem na prova: escreva a continuidade e mostre a identidade
- A partir daí conclua:
- Se o fluxo é compressível: normalmente
, logo pode ser diferente de zero (densidade varia ao seguir a partícula). - Se o fluxo é incompressível:
e, para densidade não nula, .
- Se o fluxo é compressível: normalmente
- Frase curta pra gravar: “compressível → densidade de partícula pode mudar; incompressível → densidade de partícula não muda (derivada material zero).”
Resposta
Para fluxo compressível:
, que em geral pode ser diferente de zero (densidade de uma partícula pode variar).
Para fluxo incompressível: e, para
, isso é equivalente a
.
Para fluxo incompressível: