[22] Seja f:[0,1] R uma função contínua e diferenciável, tal que 0 <= f(x) <= 1 e f^prime(x) neq 1, para todo x in[0,1]. Então existe um único tildex in[0,1], tal que f(tildex)=tildex.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe um e só um ponto fixo de f em [0,1], isto é, um único tilde xin[0,1] tal que
f(tilde x)=tilde x
O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário para existência e argumentos sobre monotonicidade (via derivada não nula) para unicidade.

Passo 2

Defina a função auxiliar
g(x) = f(x) - x
Como f é contínua em [0,1], g também é contínua. Além disso,
g(0)=f(0)-0 >= 0, g(1)=f(1)-1 <= 0
Se g(0)=0 então f(0)=0 é um ponto fixo; se g(1)=0 então f(1)=1 é um ponto fixo. Caso nenhum extremo seja raiz, temos g(0)>0 e g(1)<0, e pelo Teorema do Valor Intermediário existe tilde xin(0,1) com
g(tilde x)=0,
isto é, f(tilde x)=tilde x. Assim a existência está garantida.

Passo 3

Para a unicidade, note que g é diferenciável e
g'(x) = f'(x) - 1,
e foi dado que f'(x)neq1 em todo [0,1]. Logo g'(x) nunca se anula, e portanto mantém sinal constante em [0,1]. Se g'(x)>0 em todo [0,1], então g seria estritamente crescente e teríamos
g(1)>g(0)>=0,
contradizendo g(1)<=0. Logo não pode ocorrer g'>0 em toda parte, restando
g'(x)<0forall xin[0,1]
Isso significa que g é estritamente decrescente.

Passo 4

Uma função contínua e estritamente decrescente em [0,1] pode ter no máximo uma raiz. Como no Passo 2 já garantimos que ela tem pelo menos uma raiz, concluímos que existe exatamente um tilde xin[0,1] com
g(tilde x)=0,
ou seja, existe um único ponto em que f(tilde x)=tilde x.

Resposta

Existe um único tilde xin[0,1] tal que f(tilde x)=tilde x.

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