[22] Seja
uma função contínua e diferenciável, tal que
e
, para todo
. Então existe um único
, tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existe um e só um ponto fixo de
em
, isto é, um único
tal que
O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário para existência e argumentos sobre monotonicidade (via derivada não nula) para unicidade.
Passo 2
Defina a função auxiliar
Como
é contínua em
,
também é contínua. Além disso,
Se
então
é um ponto fixo; se
então
é um ponto fixo. Caso nenhum extremo seja raiz, temos
e
, e pelo Teorema do Valor Intermediário existe
com
isto é,
. Assim a existência está garantida.
Passo 3
Para a unicidade, note que
é diferenciável e
e foi dado que
em todo
. Logo
nunca se anula, e portanto mantém sinal constante em
. Se
em todo
, então
seria estritamente crescente e teríamos
contradizendo
. Logo não pode ocorrer
em toda parte, restando
Isso significa que
é estritamente decrescente.
Passo 4
Uma função contínua e estritamente decrescente em
pode ter no máximo uma raiz. Como no Passo 2 já garantimos que ela tem pelo menos uma raiz, concluímos que existe exatamente um
com
ou seja, existe um único ponto em que
.
Resposta
Existe um único
tal que
.