Prove a desigualdade triangular para números reais.
5. Se A é limitado superiormente e B subset A então sup (A) >= sup (B)

Passo 1

O problema pede duas provas separadas em análise real:
  1. a desigualdade triangular para quaisquer x,yinR, isto é,
lvert x+yrvert <= lvert xrvert + lvert yrvert,
e 2) mostrar que, se AsubsetR é limitado superiormente e Bsubset A, então
sup(A)>= sup(B)
Vamos usar definições de valor absoluto e de supremo.

Passo 2

Para qualquer real x sabemos que
-lvert xrvert <= x <= lvert xrvert
e, análogamente,
-lvert yrvert <= y <= lvert yrvert

Passo 3

Somando as duas cadeias de desigualdade obtemos
-l(lvert xrvert+lvert yrvertr)<= x+y<= lvert xrvert+lvert yrvert
Pela definição de valor absoluto, se -M<= z<= M então lvert zrvert<= M. Aplicando com z=x+y e M=lvert xrvert+lvert yrvert segue
lvert x+yrvert <= lvert xrvert + lvert yrvert,
que é a desigualdade triangular.

Passo 4

Agora seja AsubsetR limitado superiormente e Bsubset A. Defina alpha=sup(A). Por ser supremo, alpha satisfaz:
  1. alpha é cota superior de A, logo forall ain A:,a<=alpha.
  2. alpha é o menor dentre todas as cotas superiores de A.

Passo 5

Como Bsubset A, qualquer cota superior de A também é cota superior de B. Em particular alpha é cota superior de B. Mas sup(B) é a menor cota superior de B. Portanto
sup(B)<= alpha Longrightarrow sup(B)<= sup(A),
ou seja, sup(A)>= sup(B).

Resposta

A desigualdade triangular vale para todos x,yinR:
lvert x+yrvert <= lvert xrvert + lvert yrvert
E, se A é limitado superiormente e Bsubset A, então
sup(A)>= sup(B)

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