Prove a desigualdade triangular para números reais.
5. Se A é limitado superiormente e
então
5. Se A é limitado superiormente e
Passo 1
O problema pede duas provas separadas em análise real:
- a desigualdade triangular para quaisquer
, isto é,
e 2) mostrar que, se
é limitado superiormente e
, então
Vamos usar definições de valor absoluto e de supremo.
Passo 2
Para qualquer real
sabemos que
e, análogamente,
Passo 3
Somando as duas cadeias de desigualdade obtemos
Pela definição de valor absoluto, se
então
. Aplicando com
e
segue
que é a desigualdade triangular.
Passo 4
Agora seja
limitado superiormente e
. Defina
. Por ser supremo,
satisfaz:
-
é cota superior de , logo . -
é o menor dentre todas as cotas superiores de .
Passo 5
Como
, qualquer cota superior de
também é cota superior de
. Em particular
é cota superior de
. Mas
é a menor cota superior de
. Portanto
ou seja,
.
Resposta
A desigualdade triangular vale para todos
:
E, se
é limitado superiormente e
, então