A equação da reta tangente a uma curva no ponto ( 0,2 )é y=3 x+2. Sabendo que em um ponto ( x, y ) qualquer da curva f^prime(x)=3 x^2+k ( k constante), encontrar a equação dessa curva.
17. Em cada ponto da curva y=f(x), tem-se d^2 yd x^2=tg^2 x. Sabendo que a reta tangente a essa curva no ponto (0,1) é paralela ao eixo x, determinar a equação da mesma.

Passo 1

O enunciado 1 diz que a reta tangente a uma curva no ponto (0,2) é
y = 3x + 2
e que em qualquer ponto (x,y) da curva vale
f'(x) = 3x^2 + k,
onde k é constante. Precisamos usar que o coeficiente angular da reta tangente em x=0 é f'(0) e integrar f' para achar f, usando a condição f(0)=2.

Passo 2

Para achar k, note que o coeficiente angular da reta tangente em x=0 é 3. Logo,
f'(0) = 3cdot0^2 + k = k = 3
Agora f'(x)=3x^2+3. Integramos:
f(x)=integral(3x^2+3),dx = x^3 + 3x + C
Como f(0)=2, vem C=2. Portanto a curva é
f(x)=x^3+3x+2

Passo 3

O enunciado 2 afirma que em cada ponto da curva y=f(x) vale
d^2ydx^2 = tan^2 x,
e que a reta tangente no ponto (0,1) é paralela ao eixo x, isto é, f'(0)=0. Para obter f precisamos integrar duas vezes e usar as condições f'(0)=0 e f(0)=1.

Passo 4

Integramos a segunda derivada:
f'(x)=integral tan^2 x,dx = integral(sec^2 x - 1),dx = tan x - x + A
Como f'(0)=0, tem tan0 - 0 + A = A = 0. Então
f'(x)=tan x - x
Integramos de novo:
f(x)=integral(tan x - x),dx = -lnl(cos xr) - tfracx^22 + B
Impondo f(0)=1 -ln1 - 0 + B = B = 1. Logo
f(x) = -lnl(cos xr) - x^22 + 1

Resposta

(1)
f(x) = x^3 + 3x + 2
(2)
f(x) = -lnl(cos xr) ;-;x^22 ;+;1

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