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Verifique se as seguintes funções são contínuas.
a) y=f(x)= sen(x)x & x neq 0 0 & x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função definida por
f(x)=dfracsin(x)x&xneq00&x=0
O conteúdo é continuidade de função e limites, e vamos usar a definição de continuidade em um ponto (limite da função igual ao valor da função) e a propriedade de funções contínuas (soma, produto, quociente).

Passo 2

Para qualquer ponto aneq0, a função f(x)=sin(x)/x é quociente de duas funções contínuas ( sin(x) e x) com denominador não nulo. Logo, por teoria de continuidade de quociente, f é contínua para todo xneq0.

Passo 3

Para verificar em x=0, usamos a definição: f é contínua em 0 se e somente se
limxto0f(x)=f(0)
Precisamos calcular
limxto0sin(x)x
Usando o limite notável, temos
limxto0sin(x)x=1

Passo 4

Como f(0)=0 e o limite quando xto0 é 1, ou seja,
limxto0f(x)=1neq f(0)=0,
concluímos que f não é contínua em x=0.

Resposta

A função é contínua para todo xneq0 e descontínua em x=0.

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