Considere a função f(x, y)=y-x^2. Mostre que a imagem da reta x=0 pela função f é uma reta. Em outras palavras, mostre que o conjunto (x, y, z) in R^3 ; x=0 e z=f(x, y) é uma reta.

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo: Temos a função de duas variáveis f(x,y)=y - x^2 e queremos estudar a imagem da reta definida por x=0 no plano (x,y). O objetivo é mostrar que o conjunto (x,y,z)in R^3;;x=0,;z=f(x,y) é uma reta em R^3. Vamos usar parametrização de subconjuntos e o conceito de reta como conjunto da forma p + t,v.

Passo 2

Parametrização da reta x=0 no domínio: Na reta x=0 o valor de y pode ser qualquer real. Introduzimos um parâmetro tin R e definimos
x(t)=0, y(t)=t

Passo 3

Cálculo da imagem pela função f: Substituindo na definição de f, temos
z(t)=fl(x(t),y(t)r)=f(0,t)=t - 0^2 = t

Passo 4

Identificação do conjunto imagem: Portanto todo ponto da imagem é
l(x(t),y(t),z(t)r)=(0,t,t), tin R

Passo 5

Reconhecimento como reta em R^3: O conjunto (0,t,t):tin R pode ser escrito como
(0,0,0) + t,(0,1,1), tin R, que é justamente uma reta (subespaço afim de dimensão 1).
Concluímos que a imagem da reta x=0 pela função f é uma reta no espaço tridimensional.

Resposta

A imagem é a reta parametrizada por (0,t,t), tin R, ou equivalentemente
(0,t,t):tin R=(0,0,0)+t(0,1,1)

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