9.22 An ac voltage source is connected across the plates of a parallel-plate capacitor so that \mathbf{E}=25 \sin \left(10^{3} t\right) \mathbf{a}_{z} \quad \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Calculate the total current crossing a 2 \times 5 \mathrm{~m} area placed perpendicular to the electric field. Assume that the capacitor is air filled.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: a intensidade do campo elétrico entre as placas é \mathbf{E}=25\sin\!\bigl(10^{3}t\bigr)\,\mathbf{a}_{z}\\ \mathrm{V/m}. A área colocada perpendicular ao campo é um retângulo de 2\\ \mathrm{m} por 5\\ \mathrm{m}, logo a área vale
A = 2\times 5 = 10\\ \mathrm{m}^{2}.
Também é dito que o capacitor é preenchido com ar, portanto usamos a permissividade do vácuo/ar \epsilon_0. A pergunta é: calcular a corrente total que atravessa essa área (isto é, a corrente instantânea como função do tempo).

Passo 2

Conceito que precisamos usar (explicado de forma direta): quando o campo elétrico varia no tempo em uma região sem corrente de condução, aparece a chamada corrente de deslocamento. A densidade de corrente de deslocamento é dada por
\mathbf{J}_{d}=\epsilon\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},
onde \epsilon é a permissividade do meio (para ar \epsilon=\epsilon_0), \mathbf{E} é o campo elétrico e \mathbf{J}_{d} tem unidades de corrente por área ( \mathrm{A/m}^{2}). Isso vem da forma completa da lei de Ampère–Maxwell; aqui basta saber que um \mathbf{E}(t) produz \mathbf{J}_d.

Passo 3

A corrente total que atravessa uma superfície é a integral do fluxo da densidade de corrente sobre a área:
I(t)=\iint_{S}\mathbf{J}_{d}\cdot d\mathbf{S}.
No nosso caso \mathbf{E} é uniforme (não depende da posição) e aponta em \mathbf{a}_z; a área é plana e perpendicular a \mathbf{a}_z. Assim \mathbf{J}_{d} também é uniforme sobre a área e paralelo ao vetor normal, então a integral reduz-se a
I(t)=J_{d}(t)\,A=\epsilon_{0}A\frac{\partial E_{z}}{\partial t}.
Aqui E_{z} é a componente do campo na direção z.

Passo 4

Calcule a derivada temporal de E_{z}(t)=25\sin\!\bigl(10^{3}t\bigr). Usando a derivada de seno ( \tfrac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t)) temos:
\frac{dE_{z}}{dt}=25\cdot 10^{3}\cos\!\bigl(10^{3}t\bigr)\\ \mathrm{V/m\cdot s}.
Note que 25\cdot 10^{3}=25\,000.

Passo 5

Substituindo na expressão da corrente total:
I(t)=\epsilon_{0} A \cdot 25\cdot 10^{3}\cos\!\bigl(10^{3}t\bigr).
Agora colocamos os valores numéricos: \epsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} (valor padrão da permissividade do vácuo), A=10\\ \mathrm{m}^{2} e 25\cdot10^{3} já obtido.

Passo 6

Multiplicando passo a passo:
25\cdot10^{3}\cdot A = 25\cdot10^{3}\cdot 10 = 250{,}000 = 2{,}5\times10^{5}.
Então
I(t)=\epsilon_{0}\,(2{,}5\times10^{5})\cos\!\bigl(10^{3}t\bigr).
Agora com \epsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}:
I(t)=8{,}854\times10^{-12}\times 2{,}5\times10^{5}\cos\!\bigl(10^{3}t\bigr).
Multiplicando os fatores numéricos:
8{,}854\times 2{,}5 = 22{,}135
e os expoentes se somam (-12)+5=-7, então
I(t)=22{,}135\times10^{-7}\cos\!\bigl(10^{3}t\bigr)\\ \mathrm{A}.
Reescrevendo em notação padrão:
I(t)=2{,}2135\times10^{-6}\cos\!\bigl(10^{3}t\bigr)\\ \mathrm{A}.
Em unidades práticas, a amplitude é aproximadamente 2{,}21\\ \mu\mathrm{A}.

Passo 7

Interpretação final curta: a corrente é puramente de deslocamento (não há corrente de condução no ar entre placas, a menos que haja descarga). Ela oscila em fase com \cos(10^{3}t), ou seja, é defasada 90^\circ em relação ao campo \sin(10^{3}t), conforme a derivada transforma seno em cosseno.

Resposta

I(t)=2{,}2135\times10^{-6}\cos\!\bigl(10^{3}t\bigr)\\ \mathrm{A}

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