9.22 An ac voltage source is connected across the plates of a parallel-plate capacitor so that
. Calculate the total current crossing a
area placed perpendicular to the electric field. Assume that the capacitor is air filled.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: a intensidade do campo elétrico entre as placas é
. A área colocada perpendicular ao campo é um retângulo de
por
, logo a área vale
Também é dito que o capacitor é preenchido com ar, portanto usamos a permissividade do vácuo/ar
. A pergunta é: calcular a corrente total que atravessa essa área (isto é, a corrente instantânea como função do tempo).
Passo 2
Conceito que precisamos usar (explicado de forma direta): quando o campo elétrico varia no tempo em uma região sem corrente de condução, aparece a chamada corrente de deslocamento. A densidade de corrente de deslocamento é dada por
onde
é a permissividade do meio (para ar
),
é o campo elétrico e
tem unidades de corrente por área (
). Isso vem da forma completa da lei de Ampère–Maxwell; aqui basta saber que um
produz
.
Passo 3
A corrente total que atravessa uma superfície é a integral do fluxo da densidade de corrente sobre a área:
No nosso caso
é uniforme (não depende da posição) e aponta em
; a área é plana e perpendicular a
. Assim
também é uniforme sobre a área e paralelo ao vetor normal, então a integral reduz-se a
Aqui
é a componente do campo na direção
.
Passo 4
Calcule a derivada temporal de
. Usando a derivada de seno (
) temos:
Note que
.
Passo 5
Substituindo na expressão da corrente total:
Agora colocamos os valores numéricos:
(valor padrão da permissividade do vácuo),
e
já obtido.
Passo 6
Multiplicando passo a passo:
Então
Agora com
:
Multiplicando os fatores numéricos:
e os expoentes se somam
, então
Reescrevendo em notação padrão:
Em unidades práticas, a amplitude é aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação final curta: a corrente é puramente de deslocamento (não há corrente de condução no ar entre placas, a menos que haja descarga). Ela oscila em fase com
, ou seja, é defasada
em relação ao campo
, conforme a derivada transforma seno em cosseno.