( \mathbf{2 , 0 ~ p t s} ) O cabo de uma colher de aço inoxidável parcialmente imersa em figus fervente se estende \mathbf{17 , 8} cm no ar a partír livre da { }^{2}. Deve-se determinar a diferença de temperatura no longo da superficie exposta do cabo. A colher tem a forma retangular ( 1,27 \mathrm{~cm} de largura e 0,203 \mathrm{~cm} de espessura). A condutividade térmica do aço inoxidável é igual a 16 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \times \mathrm{K} e o coeficiente convectivo de transferencia de calor é 35 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \times \mathrm{K}. A temperatura da base da aleta (superficie da água, \mathrm{T}_{\mathrm{b}}=94^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{\infty}=44^{\circ} \mathrm{C} ) \mathrm{T}_{p} - temperatura da ponta da aleta. Deve-se resolver o problema supondo uma aleta adiabatica.
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
O que é pedido:
Determinar a diferença de temperatura ao longo da superfície exposta do cabo (ou seja, a distribuição de temperatura ao longo da aleta) e a temperatura da ponta da aleta, T_{p}, supondo a ponta adiabática (isolada).
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
Comprimento exposto da aleta: L=17,8\\ \text{cm}=0,178\\ \text{m}.
Largura da seção retangular: w=1,27\\ \text{cm}=0,0127\\ \text{m}.
Espessura da seção retangular: t=0,203\\ \text{cm}=0,00203\\ \text{m}.
Condutividade térmica do aço inoxidável: k=16\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
Temperatura da base (superfície da água): T_{b}=94^\circ\text{C}.
Temperatura do fluido ambiente (ar): T_{\infty}=44^\circ\text{C}.
Ponta adiabática \Rightarrow condição de derivada nula em x=L.
Passo 2
Formular o modelo físico e a equação diferencial da aleta (passo-a-passo e com explicação didática).
Ideia física: recorremos ao balanço de energia em um elemento infinitesimal da aleta. A aleta tem seção constante e perde calor por convecção ao longo de sua lateral. Em regime permanente a variação de energia armazenada é zero, então a soma das potências (condução para dentro/fora e convecção lateral) deve ser zero.
Definição de variável de temperatura útil:
Definimos \theta(x)=T(x)-T_{\infty}, que é o excesso de temperatura local em relação ao fluido. Essa função facilita as contas porque a condição no infinito vira \theta\to 0.
Balanço de energia no elemento de comprimento \mathrm{d}x:
Potência entrando por condução à seção x: -kA_{c}\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\Big|_{x}.
Potência saindo por condução na seção x+\mathrm{d}x: -kA_{c}\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\Big|_{x+\mathrm{d}x}.
Potência perdida por convecção na superfície lateral do elemento: hP\,\mathrm{d}x\,[T(x)-T_{\infty}]=hP\,\mathrm{d}x\,\theta(x).
Em regime permanente: diferença de condução + convecção = 0. Levando ao limite e simplificando obtemos a equação diferencial:\frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}x^{2}} - m^{2}\theta = 0,ondem^{2}=\frac{hP}{kA_{c}}.
Significado das quantidades:
A_{c} = área da seção transversal da aleta (m²).
P = perímetro molhado/exposto da seção (m).
m (m^{-1}) é um parâmetro que combina geometria e propriedades térmicas; quanto maior m mais rapidamente a temperatura decai ao longo da aleta.
Passo 3
Calcular a geometria necessária: área da seção transversal A_{c} e perímetro P.
Área da seção retangular:
A_{c}=w\cdot t = 0,0127\\ \text{m}\times 0,00203\\ \text{m}=0,000025781\\ \text{m}^{2}.
Perímetro da seção (lados expostos ao ar). Para um retângulo de lados w e t:
onde C_{1},C_{2} são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Condições de contorno:
Na base (x=0): T(0)=T_{b}\Rightarrow\theta(0)=T_{b}-T_{\infty}.
Aplicando em \theta:\theta(0)=C_{1}\operatorname{cosh}(0)+C_{2}\operatorname{sinh}(0)=C_{1}=T_{b}-T_{\infty}.Logo C_{1}=T_{b}-T_{\infty}.
Ponta adiabática (x=L): \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\Big|_{x=L}=0\Rightarrow\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}\Big|_{x=L}=0.
Derivando \theta:\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}=m\left(C_{1}\operatorname{sinh}(mx)+C_{2}\operatorname{cosh}(mx)\right).Impondo a condição em x=L e usando C_{1}=T_{b}-T_{\infty}:m\big((T_{b}-T_{\infty})\operatorname{sinh}(mL)+C_{2}\operatorname{cosh}(mL)\big)=0
(Essa forma é a clássica para aleta de seção constante com ponta isolada; verifica-se que em x=0 dá \theta(0)=T_{b}-T_{\infty} e em x=L a derivada é zero.)
Calcular numericamente a temperatura da ponta T_{p}=T(L) usando a fórmula encontrada.
Aplicando x=L na expressão:\theta(L)=(T_{b}-T_{\infty})\frac{\operatorname{cosh}\big(m(L-L)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)}=(T_{b}-T_{\infty})\frac{\operatorname{cosh}(0)}{\operatorname{cosh}(mL)}
Interpretação: a aleta é relativamente longa em relação à profundidade térmica (valor grande de mL), então a temperatura decai muito rápido e a ponta fica praticamente na temperatura do ar ambiente T_{\infty}.
Passo 7
Resumo prático e como usar isso na prova (dicas rápidas).
Fórmulas-chave que você deve lembrar:
A_{c}=w\cdot t, P=2(w+t) para seção retangular.
m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_{c}}}.
Distribuição para ponta adiabática:\theta(x)=(T_{b}-T_{\infty})\frac{\operatorname{cosh}\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)}.