( \mathbf{2 , 0 ~ p t s} ) O cabo de uma colher de aço inoxidável parcialmente imersa em figus fervente se estende \mathbf{17 , 8} cm no ar a partír livre da { }^{2}. Deve-se determinar a diferença de temperatura no longo da superficie exposta do cabo. A colher tem a forma retangular ( 1,27 \mathrm{~cm} de largura e 0,203 \mathrm{~cm} de espessura). A condutividade térmica do aço inoxidável é igual a 16 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \times \mathrm{K} e o coeficiente convectivo de transferencia de calor é 35 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \times \mathrm{K}. A temperatura da base da aleta (superficie da água, \mathrm{T}_{\mathrm{b}}=94^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{\infty}=44^{\circ} \mathrm{C} ) \mathrm{T}_{p} - temperatura da ponta da aleta. Deve-se resolver o problema supondo uma aleta adiabatica.

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O que é pedido:
    • Determinar a diferença de temperatura ao longo da superfície exposta do cabo (ou seja, a distribuição de temperatura ao longo da aleta) e a temperatura da ponta da aleta, T_{p}, supondo a ponta adiabática (isolada).
  • Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
    • Comprimento exposto da aleta: L=17,8\\ \text{cm}=0,178\\ \text{m}.
    • Largura da seção retangular: w=1,27\\ \text{cm}=0,0127\\ \text{m}.
    • Espessura da seção retangular: t=0,203\\ \text{cm}=0,00203\\ \text{m}.
    • Condutividade térmica do aço inoxidável: k=16\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
    • Coeficiente convectivo: h=35\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{K}.
    • Temperatura da base (superfície da água): T_{b}=94^\circ\text{C}.
    • Temperatura do fluido ambiente (ar): T_{\infty}=44^\circ\text{C}.
    • Ponta adiabática \Rightarrow condição de derivada nula em x=L.

Passo 2

Formular o modelo físico e a equação diferencial da aleta (passo-a-passo e com explicação didática).
  • Ideia física: recorremos ao balanço de energia em um elemento infinitesimal da aleta. A aleta tem seção constante e perde calor por convecção ao longo de sua lateral. Em regime permanente a variação de energia armazenada é zero, então a soma das potências (condução para dentro/fora e convecção lateral) deve ser zero.
  • Definição de variável de temperatura útil:
    • Definimos \theta(x)=T(x)-T_{\infty}, que é o excesso de temperatura local em relação ao fluido. Essa função facilita as contas porque a condição no infinito vira \theta\to 0.
  • Balanço de energia no elemento de comprimento \mathrm{d}x:
    • Potência entrando por condução à seção x: -kA_{c}\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\Big|_{x}.
    • Potência saindo por condução na seção x+\mathrm{d}x: -kA_{c}\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\Big|_{x+\mathrm{d}x}.
    • Potência perdida por convecção na superfície lateral do elemento: hP\,\mathrm{d}x\,[T(x)-T_{\infty}]=hP\,\mathrm{d}x\,\theta(x).
    • Em regime permanente: diferença de condução + convecção = 0. Levando ao limite e simplificando obtemos a equação diferencial: \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}x^{2}} - m^{2}\theta = 0,onde m^{2}=\frac{hP}{kA_{c}}.
  • Significado das quantidades:
    • A_{c} = área da seção transversal da aleta (m²).
    • P = perímetro molhado/exposto da seção (m).
    • m (m^{-1}) é um parâmetro que combina geometria e propriedades térmicas; quanto maior m mais rapidamente a temperatura decai ao longo da aleta.

Passo 3

Calcular a geometria necessária: área da seção transversal A_{c} e perímetro P.
  • Área da seção retangular:
    A_{c}=w\cdot t = 0,0127\\ \text{m}\times 0,00203\\ \text{m}=0,000025781\\ \text{m}^{2}.
  • Perímetro da seção (lados expostos ao ar). Para um retângulo de lados w e t:
    P=2(w+t)=2(0,0127+0,00203)\\ \text{m}=0,02946\\ \text{m}.
(Explanação curta: usamos P=2(w+t) porque todos os quatro lados da seção estão expostos ao ar e participam da convecção.)

Passo 4

Calcular o parâmetro m.
  • Fórmula: m=\sqrt{\frac{hP}{kA_{c}}}.
  • Substituindo números (mostrando as contas): hP = 35\cdot 0,02946 = 1,0311\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K},
kA_{c} = 16\cdot 0,000025781 = 0,000412496\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
\frac{hP}{kA_{c}}=\frac{1,0311}{0,000412496}\approx 2499{,}6\\ \text{m}^{-2}.
m\approx\sqrt{2499{,}6}\approx 49{,}996\\ \text{m}^{-1}\\ (\text{aprox. }50\\ \text{m}^{-1}).
  • Interpretação rápida: m grande significa que a temperatura decai muito rápido ao longo da aleta.

Passo 5

Resolver a equação diferencial para obter a distribuição de temperatura \theta(x).
  • Equação diferencial homogênea:
    \frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}x^{2}} - m^{2}\theta = 0.
    A solução geral é
    \theta(x)=C_{1}\operatorname{cosh}(mx)+C_{2}\operatorname{sinh}(mx),
    onde C_{1},C_{2} são constantes a determinar pelas condições de contorno.
  • Condições de contorno:
    1. Na base ( x=0): T(0)=T_{b} \Rightarrow \theta(0)=T_{b}-T_{\infty}.
      Aplicando em \theta: \theta(0)=C_{1}\operatorname{cosh}(0)+C_{2}\operatorname{sinh}(0)=C_{1}=T_{b}-T_{\infty}.Logo C_{1}=T_{b}-T_{\infty}.
    2. Ponta adiabática ( x=L): \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\Big|_{x=L}=0 \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}\Big|_{x=L}=0.
      Derivando \theta: \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}=m\left(C_{1}\operatorname{sinh}(mx)+C_{2}\operatorname{cosh}(mx)\right).Impondo a condição em x=L e usando C_{1}=T_{b}-T_{\infty}: m\big((T_{b}-T_{\infty})\operatorname{sinh}(mL)+C_{2}\operatorname{cosh}(mL)\big)=0
\Rightarrow C_{2}=-(T_{b}-T_{\infty})\operatorname{tanh}(mL).
  • Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral e simplificando (fator comum (T_{b}-T_{\infty})):
    \theta(x)=(T_{b}-T_{\infty})\big(\operatorname{cosh}(mx)-\operatorname{tanh}(mL)\operatorname{sinh}(mx)\big).
    Podemos manipular a identidade hiperbólica para obter uma forma mais compacta e conveniente:
    \theta(x)=(T_{b}-T_{\infty})\frac{\operatorname{cosh}\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)}.
    (Essa forma é a clássica para aleta de seção constante com ponta isolada; verifica-se que em x=0 \theta(0)=T_{b}-T_{\infty} e em x=L a derivada é zero.)
  • Portanto, a distribuição de temperatura é
    \boxed{\;T(x)=T_{\infty}+(T_{b}-T_{\infty})\frac{\operatorname{cosh}\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)}\;}.
    Em termos de excesso de temperatura:
    \boxed{\;\theta(x)= (T_{b}-T_{\infty})\dfrac{\operatorname{cosh}\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)}\; }.

Passo 6

Calcular numericamente a temperatura da ponta T_{p}=T(L) usando a fórmula encontrada.
  • Aplicando x=L na expressão: \theta(L)=(T_{b}-T_{\infty})\frac{\operatorname{cosh}\big(m(L-L)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)}=(T_{b}-T_{\infty})\frac{\operatorname{cosh}(0)}{\operatorname{cosh}(mL)}
\Rightarrow \theta(L)=(T_{b}-T_{\infty})\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)}.
Assim
T_{p}=T_{\infty}+(T_{b}-T_{\infty})\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)}.
  • Já temos m\approx 49{,}996\\ \text{m}^{-1} e L=0,178\\ \text{m}, então mL \approx 49{,}996\times 0,178 \approx 8{,}899.
\operatorname{cosh}(mL)\approx \operatorname{cosh}(8{,}899)\approx 3\,664{,}5\quad(\text{valor aproximado; a exponencial domina}).
\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)}\approx 2{,}73\times 10^{-4}.
T_{p}=44^\circ\text{C} + 50^\circ\text{C}\times 2{,}73\times 10^{-4}\approx 44^\circ\text{C} + 0{,}0136^\circ\text{C}.
T_{p}\approx 44{,}0136^\circ\text{C}.
  • Interpretação: a aleta é relativamente longa em relação à profundidade térmica (valor grande de mL), então a temperatura decai muito rápido e a ponta fica praticamente na temperatura do ar ambiente T_{\infty}.

Passo 7

Resumo prático e como usar isso na prova (dicas rápidas).
  • Fórmulas-chave que você deve lembrar:
    • A_{c}=w\cdot t, P=2(w+t) para seção retangular.
    • m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_{c}}}.
    • Distribuição para ponta adiabática: \theta(x)=(T_{b}-T_{\infty})\frac{\operatorname{cosh}\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)}.
    • Ponta: T_{p}=T_{\infty}+(T_{b}-T_{\infty})\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)}.
  • Em prova: calcule primeiro A_{c} e P, depois m, avalie mL. Se mL for grande, a ponta estará próxima de T_{\infty} (consequência física intuitiva).

Resposta

T(x)=T_{\infty}+(T_{b}-T_{\infty})\dfrac{\operatorname{cosh}\big(m(L-x)\big)}{\operatorname{cosh}(mL)}, com m=\sqrt{\dfrac{hP}{kA_{c}}}, A_{c}=0,000025781\\ \mathrm{m}^{2}, P=0,02946\\ \mathrm{m} e m\approx 49{,}996\\ \mathrm{m}^{-1}.\n
T_{p}=T(L)\approx 44{,}0136^\circ\text{C}.

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