Duas partículas pontuais de carga Q são colocadas nos pontos ( \pm l, 0 ). Uma partícula com carga positiva q e massa m é inicialmente colocada no ponto médio da reta que une as partículas e um pequeno impulso é aplicado sobre ela. Se essa partícula só pode se mover ao longo da reta que une as cargas, mostre que ela oscila num movimento harmônico simples, e encontre a frequência, \omega do movimento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só: mostrar que a partícula com carga \,q oscila em movimento harmônico simples e encontrar a frequência angular \,\omega.
Informações do enunciado:
  • Duas cargas pontuais \,Q estão fixas nos pontos \,(\pm l,0).
  • Uma partícula de carga positiva \,q e massa \,m é colocada inicialmente no ponto médio, isto é, em (0,0).
  • A partícula só pode mover-se ao longo da reta que une as cargas (ou seja, ao longo do eixo x).
  • Um pequeno impulso inicial é aplicado (significa que ela é deslocada levemente e começa a se mover).
  • Queremos: provar que o movimento é harmônico simples para pequenos deslocamentos e achar \,\omega.

Passo 2

Escrevemos a expressão da força elétrica (Lei de Coulomb) exercida por uma carga pontual sobre outra: para duas cargas \,Q_1 e \,Q_2 separadas por distância \,r,
F = k\frac{Q_1 Q_2}{r^2},
onde \,k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Aqui vamos trabalhar em uma dimensão (eixo x), tomando o sentido positivo para a direita.
Se a partícula de carga \,q está em x (com |x|\ll l mais adiante), as distâncias para as cargas \,Q nas posições -l e +l são, respectivamente, \,r_{-}=x-(-l)=x+l e \,r_{+}=l-x. A força da carga em (+l,0) sobre q aponta para a esquerda (negativa) e tem magnitude kQq/(l-x)^2. A força da carga em (-l,0) sobre q aponta para a direita (positiva) e tem magnitude kQq/(x+l)^2.
Pelo princípio da superposição, a força resultante sobre q ao longo do eixo x é
F(x)=kQq\left(\dfrac{1}{(x+l)^2}-\dfrac{1}{(l-x)^2}\right).

Passo 3

Verificamos o equilíbrio em x=0: substituindo x=0 na expressão acima,
F(0)=kQq\left(\dfrac{1}{l^2}-\dfrac{1}{l^2}\right)=0,
logo o ponto médio é um ponto de equilíbrio (simétrico).
Agora consideramos um pequeno deslocamento \,x tal que |x|\ll l. Para linearizar a força, expandimos as potências em série (expansão de Taylor / binomial) até a primeira ordem em \,x. Usamos a aproximação válida para |u|\ll1:
(1+u)^{-2}\approx 1-2u+\text{termos de ordem superior}.
Aplicando com u=\dfrac{x}{l} e u=-\dfrac{x}{l}:
\frac{1}{(x+l)^2}=\frac{1}{l^2}\left(1+\frac{x}{l}\right)^{-2}\approx\frac{1}{l^2}\left(1-2\frac{x}{l}\right),
\frac{1}{(l-x)^2}=\frac{1}{l^2}\left(1-\frac{x}{l}\right)^{-2}\approx\frac{1}{l^2}\left(1+2\frac{x}{l}\right).

Passo 4

Substituímos as aproximações no F(x):
F(x)\approx kQq\left[\frac{1}{l^2}\left(1-2\frac{x}{l}\right)-\frac{1}{l^2}\left(1+2\frac{x}{l}\right)\right].
Simplificando os termos constantes que se cancelam e agrupando os termos em x,
F(x)\approx kQq\cdot\frac{1}{l^2}\left(-4\frac{x}{l}\right) = -\frac{4kQq}{l^3}\,x.
Portanto, para pequenos deslocamentos a força resultante é da forma F(x)=-K_{\text{ef}}\,x com constante elástica efetiva
K_{\text{ef}}=\frac{4kQq}{l^3}.
Isso é uma força restauradora linear (proporcional e oposta ao deslocamento), característica de um movimento harmônico simples.

Passo 5

Escrevemos a segunda lei de Newton para o movimento ao longo do eixo x:
m\ddot{x}=F(x)\approx -\frac{4kQq}{l^3}\,x.
Rearranjando,
\ddot{x}+\underbrace{\frac{4kQq}{m l^3}}_{\omega^2}x=0.
Esta é a equação padrão do movimento harmônico simples, com frequência angular dada por
\omega=\sqrt{\frac{4kQq}{m l^3}}.
Se desejar expressá-la usando \varepsilon_0, lembre que k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, então
\omega=\sqrt{\frac{Qq}{\pi\varepsilon_0 m l^3}}.

Passo 6

Comentário final e condição de validade: a aproximação por movimento harmônico simples vale enquanto o deslocamento for pequeno comparado a \,l (isto é, |x|\ll l), pois então os termos não lineares desprezados na expansão são pequenos. A oscilação é estável (restauradora) quando \,Qq>0 — que é o caso dado ( q e Q positivos).

Resposta

\omega=\sqrt{\frac{4kQq}{m l^3}}=\sqrt{\frac{Qq}{\pi\varepsilon_0 m l^3}}.

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