Duas partículas pontuais de carga Q são colocadas nos pontos ( \pm l, 0 ). Uma partícula com carga positiva q e massa m é inicialmente colocada no ponto médio da reta que une as partículas e um pequeno impulso é aplicado sobre ela. Se essa partícula só pode se mover ao longo da reta que une as cargas, mostre que ela oscila num movimento harmônico simples, e encontre a frequência, \omega do movimento.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só: mostrar que a partícula com carga \,q oscila em movimento harmônico simples e encontrar a frequência angular \,\omega.
Informações do enunciado:
Duas cargas pontuais \,Q estão fixas nos pontos \,(\pm l,0).
Uma partícula de carga positiva \,q e massa \,m é colocada inicialmente no ponto médio, isto é, em (0,0).
A partícula só pode mover-se ao longo da reta que une as cargas (ou seja, ao longo do eixo x).
Um pequeno impulso inicial é aplicado (significa que ela é deslocada levemente e começa a se mover).
Queremos: provar que o movimento é harmônico simples para pequenos deslocamentos e achar \,\omega.
Passo 2
Escrevemos a expressão da força elétrica (Lei de Coulomb) exercida por uma carga pontual sobre outra: para duas cargas \,Q_1 e \,Q_2 separadas por distância \,r,
F = k\frac{Q_1 Q_2}{r^2},
onde \,k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Aqui vamos trabalhar em uma dimensão (eixo x), tomando o sentido positivo para a direita.
Se a partícula de carga \,q está em x (com |x|\ll l mais adiante), as distâncias para as cargas \,Q nas posições -l e +l são, respectivamente, \,r_{-}=x-(-l)=x+l e \,r_{+}=l-x. A força da carga em (+l,0) sobre q aponta para a esquerda (negativa) e tem magnitude kQq/(l-x)^2. A força da carga em (-l,0) sobre q aponta para a direita (positiva) e tem magnitude kQq/(x+l)^2.
Pelo princípio da superposição, a força resultante sobre q ao longo do eixo x é
logo o ponto médio é um ponto de equilíbrio (simétrico).
Agora consideramos um pequeno deslocamento \,x tal que |x|\ll l. Para linearizar a força, expandimos as potências em série (expansão de Taylor / binomial) até a primeira ordem em \,x. Usamos a aproximação válida para |u|\ll1:
(1+u)^{-2}\approx 1-2u+\text{termos de ordem superior}.
Esta é a equação padrão do movimento harmônico simples, com frequência angular dada por
\omega=\sqrt{\frac{4kQq}{m l^3}}.
Se desejar expressá-la usando \varepsilon_0, lembre que k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, então
\omega=\sqrt{\frac{Qq}{\pi\varepsilon_0 m l^3}}.
Passo 6
Comentário final e condição de validade: a aproximação por movimento harmônico simples vale enquanto o deslocamento for pequeno comparado a \,l (isto é, |x|\ll l), pois então os termos não lineares desprezados na expansão são pequenos. A oscilação é estável (restauradora) quando \,Qq>0 — que é o caso dado (q e Q positivos).
Resposta
\omega=\sqrt{\frac{4kQq}{m l^3}}=\sqrt{\frac{Qq}{\pi\varepsilon_0 m l^3}}.